Windschiefe

In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief oder einander kreuzend, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.

Häufige Darstellung zweier windschiefer Geraden

Im n-dimensionalen Raum können (n-2)-dimensionale Objekte windschief sein.

Zur Begründung, dass zwei Geraden g und h windschief sind, genügt es zu zeigen, dass der Richtungsvektor von g, der Richtungsvektor von h und der Vektor, der vom Aufpunkt von g zum Aufpunkt von h zeigt, linear unabhängig sind. Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass zwei windschiefe Geraden nicht in einer Ebene liegen dürfen.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden verbindet, nennt man Gemeinlot oder Minimaltransversale. Die Länge dieser Strecke ist der Abstand der Geraden.

Zur Berechnung des Abstandes legt man durch die eine Gerade eine Ebene, die zu der anderen Geraden parallel ist. Der Abstand ergibt sich dann als Abstand eines beliebigen Punktes der einen Geraden zur Ebene.

Für die windschiefen Geraden

$g:{\vec {x}}={\vec {P}}_{1}+t{\vec {w}}$

$h:{\vec {x}}={\vec {P}}_{2}+t{\vec {w}}'$ ,

${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1},{\vec {w}},{\vec {w}}'$ linear unabhängig

beträgt er

$d={\frac {|({\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}\,)\cdot ({\vec {w}}\times {\vec {w}}\,')|}{|{\vec {w}}\times {\vec {w}}\,'|}}$   (siehe Skalarprodukt und Kreuzprodukt),

mit Koordinaten

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}$   und   $h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}w_{1}'\\w_{2}'\\w_{3}'\end{pmatrix}}$

ergibt das mit der Determinante det die Formel

$d={\frac {\left|\det {\begin{pmatrix}y_{1}-x_{1}&y_{2}-x_{2}&y_{3}-x_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\w_{1}'&w_{2}'&w_{3}'\end{pmatrix}}\right|}{\sqrt {{\begin{vmatrix}w_{2}&w_{3}\\w_{2}'&w_{3}'\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}w_{3}&w_{1}\\w_{3}'&w_{1}'\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}w_{1}&w_{2}\\w_{1}'&w_{2}'\end{vmatrix}}^{2}}}}.$

Seien

$g:{\vec {x}}={\vec {P}}_{1}+t{\vec {w}}$

$h:{\vec {x}}={\vec {P}}_{2}+t{\vec {w}}'$

also die beiden windschiefen Geraden. Die Ebene, die $P_{1}$ und die Gerade $g$ enthält und zu der Geraden $h$ parallel ist, hat die Parameterdarstellung.

$E_{1}:{\vec {x}}={\vec {P}}_{1}+t{\vec {w}}+s{\vec {w}}'.$

Damit ist nur noch der Abstand eines beliebigen Punktes von $h$ und $E_{1}$ zu bestimmen. Für Abstandberechnungen braucht man einen Normalenvektor der Ebene $E_{1}$. Wenn man das Vektorprodukt nicht kennt oder noch nicht kennt, stellt man die Bedingungen für der Normalenvektor auf. ${\vec {n}}_{1}$ muss auf ${\vec {w}}$ und ${\vec {w}}'$ senkrecht stehen d.h.für die inneren Produkte:

$({\vec {n}}_{1},{\vec {w}})=0$ und $({\vec {n}}_{1},{\vec {w}}')=0.$

Eine Lösung ist beispielsweise

${\vec {n}}_{1}={\vec {w}}\times {\vec {w}}'$

beziehungsweise auf Länge Eins normiert:

${\vec {n}}_{1}={\frac {{\vec {w}}\times {\vec {w}}'}{|{\vec {w}}\times {\vec {w}}'|}}.$

Die obige Formel für d ist also so zu lesen, die Länge der Projektion des Differenzvektors ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}$ auf den Normaleneinheitsvektor der Ebene $E_{1}$ wird bestimmt.

Der Abstand der Geraden g und h lässt sich also ohne Kenntnis des Gemeinlotes berechnen.

Ist noch dieses Gemeinlot gefragt, wird das folgendermaßen berechnet. Man bestimmt die Spurgerade $h_{sp}$,also die senkrechte Projektion der Geraden h auf die Ebene $E_{1}$. Sei Q der Schnittpunkt von $h_{sp}$ und g. Q ist dann das Lot eines Punktes Q' auf h. Das Gemeinlot oder die Minimaltraverse ist dann die Strecke Q Q'. Die Gerade durch Q und Q' steht dann nach Konstruktion auf g und auf h senkrecht.

Analytische Behandlung des Problems, minimaler Abstand

Es wird eine Funktion A(s,t) aufgestellt, die die Länge zum Quadrat eines beliebigen Verbindungsvektor von einem Punkt auf g und einem Punkt auf h angibt also:

A(s,t)= (${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}+s{\vec {w}}'-t{\vec {w}},{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}+s{\vec {w}}'-t{\vec {w}})$

Es sollen dann die Parameterwerte $s_{0}$ und $t_{0}$ berechnet werden, an denen diese Funktion ein Minimum annimmt, es soll also das Gemeinlot direkt berechnet werden.

Nullsetzen der partiellen Ableitungen von A(s,t) nach s und t ergibt:

$({\vec {w}}',{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}+s{\vec {w}}'-t{\vec {w}})=0$ und

$({\vec {w}},{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}+s{\vec {w}}'-t{\vec {w}})=0$

Also die notwendige Bedingung für das Minimum von A(s,t) ist, dass der Verbindungsvektor auf g und auf h senkrecht steht.

Aus dieser Bedingung lässt sich $s_{0}$ und $t_{0}$ und damit Q und Q' berechnen.

Das allgemein durchzurechnen,um die obige Abstandsformel zu bekommen, ist wohl ziemlch kompliziert.

Schlussbemerkung

Das Problem des Abstandes windschiefer Gerade ist ein gutes Beispiel dafür, daß die Lineare Algebra ganz andere Methoden zur Verfügung stellt als die Analysis. Das Nullsetzen der ersten Ableitung ist nicht die einzige Optimierungsmethode, vielfach sind spezielle auf das Problem zugeschnittene Lösungswege besser.