Algorithmische Zahlentheorie

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie welche wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist. Sie beschäftigt sich mit der Frage nach effizienten algorithmischen Lösungen für zahlentheoretische Fragestellungen.

Wichtigste Bereiche der algorithmischen Zahlentheorie sind

• Tests zur Überprüfung der Primzahleigenschaft
• Verfahren zur Faktorisierung einer ganzen Zahl
• Berechnung des diskreten Logarithmus

Hierfür benötigt man weitere Verfahren, die ebenfalls untersucht werden:

• Schnelle Multiplikation
• Schnelles Potenzieren
• Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus
• Berechnung des Jacobi-Symbols mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetztes
• Faktorisierung von Polynomen, insbesondere auch schnelles Wurzelziehen

Anwendungen

Die wichtigste Anwendung der algorithmischen Zahlentheorie ist die Kryptographie. Hier wird beim RSA-Verfahren ausgenutzt, dass die Primzahleigenschaft einer Zahl schnell überprüft werden kann, aber bislang keine ähnlich schnellen Verfahren bekannt sind, eine zusammengesetzte Zahl (d.i. eine Zahl die nicht prim ist), zu faktorisieren.

Auf dieser Tatsache beruht insbesondere die Sicherheit der Datenübertragung im Internet. In diesem Zusammenhang hat RSA Security größere Summen für diejenigen ausgelobt, denen es gelingt, bestimmte Zahlen zu faktorisieren. (Siehe http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html)

Personen

• John Brillhart
• Derrick H. Lehmer
• Arjen K. Lenstra
• Hendrik W. Lenstra (jr.)
• Mark S. Manasse
• Michael A. Morrison
• Andrew Odlyzko
• John Pollard
• Carl Pomerance
• Richard Schroeppel
• John L. Selfridge

Literatur

• O. Forster, Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg-Verlag, 1996
• H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol 138), Springer Verlag, 1996
• R. Crandell und C. Pomerance, Prime Numbers - A Computational Perspective, Springer Verlag, 2002

Weblinks

http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/ants/ (Algorithmic Number Theory Symposium, ANTS)