Die Zahl Pi (symbolisiert durch "π", näherungsweise 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383...), auch Archimedes' Konstante oder ludolphsche Zahl (Ludolph van Ceulen, s.u.) genannt, drückt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser aus. Alternativ kann man π definieren als die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1 oder als die kleinste positive Zahl, für die cos(x) = 0 gilt.
Formeln, die π beinhalten:
- Umfang eines Kreises mit Radius r: U = 2 π r
- Fläche eines Kreises mit Radius r: F = π r2
- Volumen einer Kugel mit Radius r: V = (4/3) π r3
- Oberfläche einer Kugel mit Radius r: O = 4 π r2
Formeln der Analysis, die π beinhalten:
- 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = π2 / 6 (Euler)
- 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... = π / 4 (Leibniz' Formel)
- 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9 * ... = π / 2 (Wallis Produkt)
∞ -x2
∫ e dx = π1/2
-∞
- n! ~ (2 π n)1/2 (n/e)n (Stirlingsche Formel)
- eπ i + 1 = 0 (Eulersche Identität)
Formeln der Physik, die π beinhalten
- Δx Δp ≥ h / (4π) (Heisenbergsche Unschärferelation)
- ω = 2 π f (Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit gleich 2 π mal Umlauffrequenz)
Irrationalität & Transzendenz
Die Zahl π ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden, etwa als a/b (üblicherweise Bruch genannt). Dies wurde 1761 von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten gibt, deren Wurzel (Nullstelle) π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Dies wurde von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge ist auch, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Näherungen
Da es somit keine einfache Formel für π gibt, müssen wir für diese Zahl Näherungen benutzen. Diese Näherungswerte und -verfahren waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften (Ingenieurbau etc.) sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits soviele Stellen, dass man nicht mehr von praktischen Nutzen sprechen kann.
Ludolph van Ceulen (c1600) hat die ersten 35 Dezimalstellen berechnet. Er war so stolz darauf, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ.
Keine der oben angegebenen Formeln kann zur effizienten Berechnung von Näherungswerten von π dienen. Für schnelle Berechnungen kann man Formeln wie etwa die von Machin verwenden:
- 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4
zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion. Diese Formel wird sofort klar, wenn man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen angibt, beginnend mit
- (5+i)4 · (-239 + i) = -114244-114244 i.
Die ersten eine Million Ziffern von π und 1/π sind als Datei beim Projekt Gutenberg erhältlich. Der aktuelle Rekord (Stand August 2001) steht bei 206 000 000 000 Ziffern, die im September 1999 unter Benutzung des Gauss-Legendre-Algorithmus und des Borwein-Algorithmus berechnet wurden.
1996 hat David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Formel für π entdeckt:
Diese Formel erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von π zu berechnen, ohne dass man zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnen muss. http://www.nersc.gov/~dhbailey/ ist Bailey's Webseite und enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementationen in verschiedenen Programmiersprachen.
Merkregel
Eine einfache Merkregel für die ersten sieben Nachkommastellen ist: Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!, was in der Anzahl der Buchstaben der Worte 3 1 4 1 5 9 2 6 ergibt.
Offene Fragen
Die drängendste Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-artigen) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält, so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.
Bailey und Crandal haben 2000 gezeigt, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalform (normality) von π zur Basis 2 angegeben (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.
Anwendungen
Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie.
Siehe Algebra (Calculus xxxx), Geometrie, Trigonometrische Funktion, Zahlentheorie
Kurioses
Im Jahre 1897 gab es im US Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf mit dem die Zahl Pi per Gesetz als 3,2 definiert werden sollte. Das Gesetz passierte jedoch nie die zweite Kammer des Parlaments.