Lucas-Folge

Unter der Lucas-Folge versteht man zwei unterschiedliche Dinge, nämlich einmal die beiden allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q) und V(P,Q), und andererseits die spezielle Lucas-Folge: 2 1 3 4 7 11 18 29 ..., die mit der Fibonacci-Folge zusammen hängt. Die Lucas-Folge ist nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas bennant, der sich als erste mit ihr beschäftigt hat.

Vorbemerkung

Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.

Einleitung

Eine quadratische Gleichung $x^{2}+px+q=0$ läßt sich nach der pq-Formel lösen:

x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}

und

x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}

Dabei bezeichnet man ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ als die Diskriminante d

So lassen sich also über die quadratische Gleichung $x^{2}-px+q=0$ , bei vorgegebenen P und Q die entsprechenden a und b berechnen:

a={\frac {P}{2}}+{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}

und

b={\frac {P}{2}}-{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}

Mit anderen Worten: Die Parameter P und Q und die Werte a und b sind von einander abhängig.

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Das Glied einer allgemeinen Lucas-Folge $U_{n}(P,Q)$ berechnet sich nach folgender Formel:

U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}

für alle $n\geq 0$

Das Glied einer allgemeinen Lucas-Folge $V_{n}(P,Q)$ berechnet sich nach folgender Formel:

V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}

für alle $n\geq 0$

Die Folgen $U(P,Q)=(U_{n}(P,Q))_{n\geq 1}$ und $V(P,Q)=(V_{n}(P,Q))_{n\geq 1}$ bezeichnet man dabei als Lucas-Folgen assoziiert zum Paar (P,Q).

P	Q	a	b	U(P,Q)	V(P,Q)
1	-1	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$	Fibonacci-Folge	Lucas-Folge
3	2	2	1	2ⁿ-1 Folge	2ⁿ+1 Folge
2	-1	$1+{\sqrt {2}}$	$1-{\sqrt {2}}$	Pell-Folge	Companion Pell-Folge
1	-2	${\frac {1+{\sqrt {9}}}{2}}$	${\frac {1-{\sqrt {9}}}{2}}$	Jacobsthal-Folge
3	-10	5	-2	(Sequenz A015528 in OEIS)
4	-5	5	-1	(Sequenz A015531 in OEIS)
5	-6	6	-1	(Sequenz A015540 in OEIS)
8	-9	9	-1	(Sequenz A015577 in OEIS)

Eigenschaften

U₀, U₁ und V₀ sind definiert

Unabhängig von P und Q sind $U_{0}(P,Q),U_{1}(P,Q)$ und $V_{0}(P,Q)$ definiert:

U_{0}={\frac {a^{0}-b^{0}}{a-b}}={\frac {1-1}{a-b}}={\frac {0}{a-b}}=0

U_{1}={\frac {a^{1}-b^{1}}{a-b}}={\frac {a-b}{a-b}}={\frac {1}{1}}=1

V_{0}=a^{0}+b^{0}=1+1=2

Die allgemeine Lucas-Folge V_n(P,Q) und die Primzahl

Für alle Lucas-Folgen $V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}$ mit P>0 und Q=1 oder Q=(-1) gilt, das wenn n eine Primzahl ist, das n $(V_{n}(P,Q)-P)$ teilt. Oder anders ausgedrückt:

V_{n}(P,Q)\equiv P\mod n

für alle n die Primzahlen sind.

Besonders interessant ist dies für die Folge $V_{n}(3,2)=a^{n}+b^{n}=2^{n}+1$ . Für diese Folge gilt nämlich:

Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt: n teilt

2^{n}+1-3=2^{n}-2

.

Dies ist eine spezielle Form des kleinen Fermatschen Satz.

Anwendungen der allgemeinen Lucas-Folgen

Die allgemeinen Lucas-Folgen spielen in der Zahlentheorie und der Kryptographie eine Rolle.

Siehe auch: Lucas-Lehmer-Test, Lucassche Pseudoprimzahl, Fibonacci-Folge, Jacobsthal-Folge, Pell-Folge

Die spezielle Lucas-Folge

Die allgemein als Lucas-Folge bekannte Folge L_n der Lucas-Zahlen 2 1 3 4 7 11 18 29 ... läßt sich auf unterschiedlichste Art und Weise erzeugen:

Über die Formel von Binet:

 $L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$ 
die sich aus der allgemeinen Lucas-Folge  $L_{n}=V_{n}(-1,1)=a^{n}+b^{n}$  mit a =  ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$  und b =  ${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$  ableiten läßt

Über die rekursive Formel, die der rekursiven Formel für die Fibonacci-Folge gleicht:

 $L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$

Über eine Potenz des goldenen Schnitt

 $L_{n}=\Phi ^{n}$

Eine andere rekursive Formel:

 $L_{n+1}=\left[{\frac {L_{n}(1+{\sqrt {5}})+1}{2}}\right]$

Die Lucas-Folge: ... 2 1 3 4 7 11 18 29 ... läßt sich auch als Summe zweier verschobener Fibonacci-Folgen darstellen:

   ... 1 1 2 3 5  8 13 21 34 55 ...
+  ... 1 0 1 1 2  3  5  8 13 21 ...
-----------------------------------
=  ... 2 1 3 4 7 11 18 29 47 71 ...

Die Folge ist nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas (1842-1891) benannt, nachdem auch die allgemeinen Lucas-Folgen benannt sind, und der sich intensiv mit Zahlentheorie beschäftigte.

Siehe auch

lineare Differenzengleichung

Literatur

The new Book of Primenumber Records, Paolo Ribenboim, ISBN 0-387-94457-5
My Numbers, my Friends, Paolo Ribenboim, ISBN 0-387-98911-0

Weblinks