Sinussatz

Sinussatz
Anwendungsgebiet	Der Sinussatz ist anwendbar, wenn zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein, nicht von den beiden Seiten eingeschlossener, Winkel gegeben sind.

In der Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Er wurde von Al-Battani gefunden und bewiesen.

Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks, α, β und γ die jeweils gegenüber liegenden Winkel, r der Radius und u der Umfang des Umkreises, dann gilt:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {u}{\pi }}

Häufig wird der Sinussatz auch als Verhältnisgleichung formuliert:

\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma =a:b:c\!

Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt; diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW.

Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz.

In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.

Beweis

Die eingezeichnete Höhe $h_{c}$ zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man die Sinuswerte von $\alpha$ und $\beta$ jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:

\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}

\sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}

Auflösen nach $h_{c}$ ergibt:

h_{c}=b\cdot \cos \alpha

h_{c}=a\cdot \cos \beta

Durch Gleichsetzen erhält man demnach

a\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \alpha

.

Dividiert man nun durch $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ , so erhält man den ersten Teil der Behauptung:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}

Die Gleichheit mit ${\tfrac {c}{\sin \gamma }}$ ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe $h_{a}$ oder $h_{b}$ . Um auch noch die Übereinstimmung mit $2r$ zu zeigen, die streng genommen nicht zum Sinussatz gehört, benötigt man die bekannten Sätze über Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).

Anwendungsbeispiel

Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Näherungen. In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten- und Winkelgrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

a=5{,}4\,\mathrm {cm} ;\ b=3{,}8\,\mathrm {cm} ;\ \alpha =73^{\circ }.

Gesucht sind die Größen der restlichen Seiten und Winkel.

Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von $\beta$ .
Danach gilt

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},

was sich umformen lässt zu

\sin \beta ={\frac {b\cdot \sin \alpha }{a}}={\frac {3{,}8\,\mathrm {cm} \cdot \sin 73^{\circ }}{5{,}4\,\mathrm {cm} }}\approx 0{,}67,

woraus sich

\beta \approx 42^{\circ }

errechnen lässt.

Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert, nämlich $\beta '=180^{\circ }-\beta \approx 138^{\circ }$ . Dieser kommt als Lösung aber nicht in Betracht, da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen $180^{\circ }$ überschreiten würde.