Drehimpuls

Die physikalische Größe Drehimpuls heißt im alltäglichen Sprachgebrauch auch Drall oder Schwung.

Physikalische Größe
Name	Drehimpuls
Formelzeichen	$\mathbf {L}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI kg·m2·s-1 M·L2·T-1

Der Drehimpuls $\mathbf {L}$ eines Massenpunktes ist das Kreuzprodukt seines Ortsvektors $\mathbf {r}$ mit seinem Impuls $\mathbf {p} \,,$

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,.$

Der Drehimpuls ändert sich, wenn ein Drehmoment wirkt, das heißt, wenn eine Kraft mit einem Hebelarm angreift. Verschwindet das Drehmoment, so behält der Drehimpuls seinen anfänglichen Wert. Dann ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.

Grundlagen

Beziehung zwischen Kraft ${\vec {F}}$, Drehmoment ${\vec {\tau }}$, Impuls ${\vec {p}}$, Drehimpuls ${\vec {L}}$ und Kraft- bzw. Hebelarm ${\vec {r}}$

Bei einer Kreisbewegung kann man sich den Drehimpuls als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse angibt und dessen Länge den Schwung der Drehung angibt: Je länger der Pfeil, desto mehr Drehimpuls. Der Drehimpuls wächst mit

• höherer Geschwindigkeit
• größerer Masse
• größerem Abstand von der Drehachse.

Datei:Rechte Daumen Regel.png

Rechte-Hand-Regel

Die Skizze zeigt den Zusammenhang von Ort, Geschwindigkeit und Drehimpuls für eine Kreisbewegung. Man beachte, dass der Drehimpuls senkrecht auf der Ebene steht, in der sich die Masse bewegt. Seine Länge ist, da die Geschwindigkeit senkrecht auf dem Ortsvektor steht, gleich dem Produkt aus Masse, Radius und Geschwindigkeit.

Der Drehimpuls zeigt in die Richtung, die mit dem Ort und der Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Es gilt die Rechte-Hand-Regel: wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses.

Salto vorwärts

Im Sport, beispielsweise beim Eiskunstlauf, macht man sich die Drehimpulserhaltung zunutze: Da der Drehimpuls sowohl von der Rotationsgeschwindigkeit als auch vom Abstand der rotierenden Masse zur Rotationsachse abhängt, geht eine Abstandsänderung mit einer entsprechenden Änderung der Winkelgeschwindigkeit einher. So wird bei der Pirouette die Drehung schneller, wenn man die Arme an den Körper legt. Das Trägheitsmoment der Arme bezüglich der Drehachse wird dabei verringert. Da der Gesamtdrehimpuls aber erhalten bleibt, nimmt die Rotationsgeschwindigkeit zu. Dieser Sachverhalt wird auch als Pirouetteneffekt bezeichnet.

Das gleiche Prinzip nutzen Turner beim Salto. In der Luft werden Arme und Beine angezogen, um so aus dem beim Absprung erhaltenen Drehimpuls eine möglichst schnelle Drehung zu gewinnen. Eine Öffnung der Haltung vor dem Auftreffen auf den Boden verringert die Drehgeschwindigkeit und erlaubt eine stehende Landung.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung

Der Drehimpuls hängt davon ab, welchen Punkt man als Ursprung wählt. Bei Verschiebung des Ursprungs ändert sich der Vektor jedes Ortes in $\mathbf {x} ^{\prime }=\mathbf {x} +\mathbf {a}$ und der Drehimpuls in

$\mathbf {L} ^{\prime }=\mathbf {L} +\mathbf {a} \times \mathbf {p} \,.$

Oft wählt man als Ursprung den Schwerpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht.

Weil der Drehimpulsvektor ein Kreuzprodukt ist, ändert sich der Drehimpuls bei Drehungen so wie der Ort oder die Geschwindigkeit.

Bei einer Spiegelung am Ursprung geht der Ort in den entgegengesetzten Ort über und auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit dreht sich um. Daher ändert sich der Drehimpuls nicht bei der Spiegelung am Ursprung. Um das verschiedene Verhalten bei Spiegelungen zu unterscheiden, nennt man den Drehimpuls einen Axialvektor oder Pseudovektor. Beim Ortsvektor und der Geschwindigkeit spricht man von polaren Vektoren.

Ebene Bahn, Flächensatz

Behält der Drehimpuls eines Teilchens (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn des Teilchens in einer Ebene und kann in Polarkoordinaten angegeben werden.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten $t$ gilt

$\mathbf {x} (t)\cdot \mathbf {L} (t)=\mathbf {x} (t)\cdot {\bigl (}\mathbf {x} (t)\times \mathbf {p} (t){\bigr )}=0\,.$

Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, $\mathbf {L} (t)=\mathbf {L} (0)\,,$ dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

$\mathbf {x} (t)\cdot \mathbf {L} (0)=0\,.$

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Ursprung senkrecht zum Drehimpuls.

Zudem gilt das zweite Keplersche Gesetz: Der Fahrstrahl zum Ursprung überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit $\mathrm {d} t$ ändert sich der Fahrstrahl $\mathbf {x}$ um ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t$ und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Die Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Größe durch das Kreuzprodukt gegeben ist. In der Zeit $\mathrm {d} t$ überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

$\mathrm {d} F={\frac {1}{2}}\left|\mathbf {x} (t)\times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}\,\right|\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\,m}}{\bigl |}\mathbf {L} {\bigr |}\mathrm {d} t\,.$

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie $E$ erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

$\mathrm {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}} ={\frac {\mathbf {p} }{E}}\,c^{2}$

und

$\mathrm {d} F={\frac {c^{2}}{2\,E}}{\bigl |}\mathbf {L} {\bigr |}\mathrm {d} t\,.$

Eulerscher Drehimpulssatz

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken. Die zeitliche Änderung des Impulses ist die Kraft,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} \,.$

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft mit einem Hebelarm angreifen. Solch eine Hebelkraft nennt man Drehmoment.

Genauer besagt der Eulersche Drehimpulssatz:

Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} \,.$

Er wurde 1754 von Leonhard Euler formuliert.

Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Ortsvektor (Hebelarm) und Kraft:

$\mathbf {M} =\mathbf {x} \times \mathbf {F} \,.$

Der Drehimpulssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {x} \times \mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {p} +\mathbf {x} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.$

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, verschwindet ihr Kreuzprodukt. Aus der zeitlichen Änderung des Impulses ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F}$ folgt so die zeitliche Änderung des Drehimpulses,

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {x} \times \mathbf {F} \,.$

Handelt es sich bei der Kraft $\mathbf {F}$ um eine Zentralkraft $\mathbf {F} =f{\frac {\mathbf {x} }{x}}$ so ist der Drehimpuls erhalten:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {x} \times \left(f{\frac {\mathbf {x} }{x}}\right)={\frac {f}{x}}\underbrace {\mathbf {x} \times \mathbf {x} } _{=0}=0$   folglich   $\mathbf {L} ={\text{const.}}$

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Bei einem starren Körper bezieht man den Drehimpuls auf den Schwerpunkt des Körpers und nennt ihn Eigendrehimpuls oder kürzer, Drehimpuls.

Der Drehimpuls eines starren Körpers (zum Beispiel eines Spielzeugkreisels, eines Autorades oder der Erde) wird durch seine Drehgeschwindigkeit, genauer seine Winkelgeschwindigkeit ${\boldsymbol {\omega }}$, und den Trägheitstensor bestimmt. Das ist eine Matrix $\Theta$, aus der man die Trägheitsmomente und die Hauptträgheitsachsen berechnen kann. Die Hauptträgheitsachsen sind die Richtungen, in denen der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit einander parallel sind.

Der Drehimpuls eines starren Körper ist das Produkt seines Trägheitstensors mit seiner Winkelgeschwindigkeit

$\mathbf {L} =\Theta \,{\boldsymbol {\omega }}\,.$

Der Trägheitstensor $\Theta$ hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung. Allerdings sind die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls im Allgemeinen nicht zueinander parallel.

Herleitung

Der Drehimpuls eines starren Körpers ist die Summe der Drehimpulse der Massepunkte, aus denen er besteht. Wir bezeichnen die einzelnen Massepunkte mit $m_{1}\,,m_{2}\,,m_{3}\dots \,,$ mit $\mathbf {x} _{1}\,,\mathbf {x} _{2}\,,\mathbf {x} _{3}\dots$ die Orte, an denen sie sich befinden, und mit ${\dot {\mathbf {x} }}_{1}\,,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}\,,{\dot {\mathbf {x} }}_{3}\dots$ ihre Geschwindigkeiten. Der Drehimpuls ist insgesamt

$\mathbf {L} =\sum m_{i}\,\mathbf {x} _{i}\times {\dot {\mathbf {x} }}_{i}$.

Dabei ist über alle Massenpunkte zu summieren, aus denen der Körper besteht. Sein Schwerpunkt sei als Koordinatenursprung gewählt.

Wenn der Schwerpunkt ruht, so ist die Bewegung des starren Körpers eine Drehung um den Schwerpunkt. Die Geschwindigkeit der einzelnen Massepunkte ist dabei das Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor,

${\dot {\mathbf {x} }}_{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} _{i}\,.$

Eingesetzt erhalten wir

$\mathbf {L} =\sum m_{i}\,\mathbf {x} _{i}\times {\bigl (}{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} _{i}{\bigr )}\,.$

Das doppelte Kreuzprodukt werten wir mit der BAC-CAB-Formel aus,

$\mathbf {L} =\sum m_{i}\,{\bigl (}{\boldsymbol {\omega }}\,(\mathbf {x} _{i}^{2})-\mathbf {x} _{i}\,(\mathbf {x} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}){\bigr )}\,.$

Also ist der Drehimpuls $\mathbf {L}$ linear in der Winkelgeschwindigkeit ${\boldsymbol {\omega }}$ und lässt sich daher als Trägheitstensor $\Theta$ mal ${\boldsymbol {\omega }}$ in der Form

$\mathbf {L} =\Theta \,{\boldsymbol {\omega }}$

schreiben. Dabei ist der Trägheitstensor die Matrix

$\Theta =\sum _{i}m_{i}\,{\begin{pmatrix}y_{i}^{2}+z_{i}^{2}&-x_{i}\,y_{i}&-x_{i}\,z_{i}\\-y_{i}\,x_{i}&x_{i}^{2}+z_{i}^{2}&-y_{i}\,z_{i}\\-z_{i}\,x_{i}&-z_{i}\,y_{i}&x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\\\end{pmatrix}}\,.$

Bei einer kontinuierlichen Massenverteilung steht statt der Summe über die Massepunkte ein Volumenintegral über die Massendichte $\varrho (\mathbf {x} )$, die je nach Matrixelement mit unterschiedlichen Produkten der Koordinaten gewichtet ist,

$\Theta =\int \varrho (x,y,z)\,{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-x\,y&-x\,z\\-y\,x&x^{2}+z^{2}&-y\,z\\-z\,x&-z\,y&x^{2}+y^{2}\\\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} ^{3}x\,.$

Siehe auch

• Pirouetteneffekt, Selbststeuerung, Stabilisierung, Reaktionsrad, Trägheitsrad, Stabilisation (Raumfahrt)
• Spin (Drehimpuls in der Quantenmechanik)
• Drehimpulsoperator