Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.
Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differenzialrechnung, die ihrerseits ein mathematisches Teilgebiet der Analysis darstellt.
Definitionen
Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reelen Variablen, also eine Funktion aus den reellen Zahlen in sich selbst. (f:IR->IR)
Definition:Eine Funktion f ist differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, falls eine reelle Zahl a und eine Funktion g (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass
f(x0+h)=f(x0) + a*h + g(h)
und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich h*g(h) -> 0 für h->0)
Der Grenzwert
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \right) = \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} f(x_0) }
heißt dann die Ableitung der Funktion im Punkt x0.
Sie heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Grafisch lässt sich dies so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die Ableitung selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die unendlich oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.
Begriffserweiterungen
Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf
- mehrdimensionale Räume, wo partielle und totale Differenzierbarkeit unterschieden werden müssen.
- komplexe Räume, bei denen die reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt werden; hier liefert Differenzierbarkeit eine wesentlich stärkere Einschränkung einer Funktion
- gekrümmte Räume bzw. differenzierbare Mannigfaltigkeiten und komplexe Mannigfaltigkeiten.