Basis (Vektorraum)

Eine Basis eines Vektorraums $V$ ist eine durch folgende gleichwertige Eigenschaften charakterisierte Teilmenge $B$:

1. Jedes Element von $V$ lässt sich als Linearkombination von $B$ darstellen, und diese Darstellung ist eindeutig.
2. $B$ ist ein minimales Erzeugendensystem von $V$.
3. $B$ ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von $V$.
4. $B$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums $V$ ist eine Teilmenge $B$ mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor von $V$ sich als Linearkombination aus $B$ darstellen lässt.

Eine Linearkombination aus $B$ ist eine endliche Summe skalarer Vielfacher von Elementen aus $B$. Also: Sind $b_{1},...,b_{n}$ aus $B$ und $a_{1},...,a_{n}$ Skalare, dann ist $a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}$ eine Linearkombination.

Eine Teilmenge $B$ des Vektorraums $V$ heißt linear unabhängig, wenn die Darstellung des Nullvektors als Linearkombination von $B$ eindeutig ist, wenn also gilt: Ist $a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}=0$ eine Darstellung des Nullvektors, dann folgt dass alle $a_{i}=0$ sein müssen.

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren.

Alle Basen enhalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl nennt man die Dimension des Vektorraums.

Die Skalare, die in der Darstellung eines Vektors auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors, zusammen bilden sie ihrerseits einen Koordinatenvektor (der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum).

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie oft nicht explizit angeben kann. (Umgekehrt kann man aus dem Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, auch das Auswahlaxiom oder das Lemma von Zorn beweisen; daher kann man in einer Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder äquivalente Aussagen nicht beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.)

Existenzbeweis (Skizze)

Diesen wichtige Satz der Linearen Algebra kann man mit Hilfe des Lemmas von Zorn beweisen.

Sei V ein Vektorraum. Man möchte eine maximale linear unabhängige Teilmenge des Vektorraums finden. Es liegt also nahe, die Menge $P:=\left\{X\mid X\subseteq V{\mbox{ und X lin. unabh.}}\right\}$ zu betrachten, die durch die Relation $\subseteq$ halbgeordnet wird.

Man kann nun leicht zeigen:

1. P ist nicht leer (zum Beispiel enthält P die leere Menge; wenn V selbst nicht nur aus dem Nullvektor 0 besteht, dann ist auch jede Einermenge {v} (mit v in V, v ungleich 0) in P.
2. Für jede Kette $C\subseteq P$ ist auch $\bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\exists X\in C:v\in X\}$ in P.

Aus dem Lemma von Zorn folgt nun, dass P ein maximales Element hat; ja sogar, dass jedes Element T von P in einem maximalen Element von P enthalten ist. Die maximalen Elemente von P sind nun aber genau die maximalen linear unabhängigen Teilmengen von V, also die Basen von V. Daher hat V eine Basis, uns gilt darüber hinaus: jede linear unabhängige Teilmenge von V ist in einer Basis von V enthalten.

Beispiele

• In der Euklidischen Ebene R² hat man die so genannte kanonische Einheitsbasis $\{(1,0),(0,1)\}$. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren eine Basis, wenn sie nicht dieselbe (bzw. entgegengesetzte) Richtung haben.

e₁ und e₂ bilden eine Basis der Ebene

• Als R-Vektorraum wird für C meist die Basis $\{1,i\}$ verwendet. Weiters bildet eine Menge $\{a,b\}\subseteq {\mathbf {C} }\setminus \{0\}$ genau dann eine Basis von C über R, wenn ${\frac {a}{b}}$ keine reelle Zahl ist.

• Als Q-Vektorraum hat R eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann.

• Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis $\{1,X,X^{2},X^{3},...\}=\{X^{i}|i\in \mathbb {N} _{0}\}$. Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen sich als praktischer herausstellen (z.B. Legendre-Polynome).

• Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn z.B. die Folge $(1,1,1,...)$ wird nicht davon erzeugt:

$\{(1,0,0,0,...),(0,1,0,0,...),(0,0,1,0,...),...\}$

Orthonormalbasis

Beim Studium von Hilberträumen gibt es eine andere, zweckmäßigere Art, die Elemente des Raumes darzustellen. Eine Basis besteht dabei aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren, und es werden nicht nur endliche, sondern auch unendliche Summen der Basisvektoren zugelassen. Eine solche Orthonormalbasis ist in einem unendlichdimensionalen Raum keine Basis im hier definierten Sinne. Der hier beschriebene Basis-Typ wird zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt.