Butterworth-Filter

Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang unterhalb der Grenzfrequenz ω_g möglichst lange horizontal verläuft. Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion abnehmen und in die Verstärkungsabnahme von n·20dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters).

Das Bode-Diagramm eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung

Die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt 3dB, das heißt ein Signal mit der Grenzfrequenz wird um den Faktor ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}7071$ abgeschwächt. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde der Butterworth-Filter nach dem britischen Ingenieur Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb .

Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5

Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung Tiefpass, realisiert als Sallen-Key-Filter.

Übertragungsfunktion

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:

$\left|{\underline {A}}\right|^{2}={\frac {A_{0}^{2}}{1+k_{2n}\Omega ^{2n}}}$

mit

$A_{0}$ Gleichspannungsverstärkung

$\Omega ={\frac {f}{f_{g}}}$ auf Grenzfrequenz normierte Frequenz

n Ordnung des Filters

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Koeffizienten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form ($P={\frac {p}{\omega _{0}}}$):

$A[P]={\frac {A_{0}}{\prod _{i}(1+a_{i}P+b_{i}P^{2})}}$

ergeben sich für die Koeffizienten $a_{i}$ und $b_{i}$ folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

$i=1\ldots {\frac {n}{2}}$

$a_{i}=2\cos {\frac {(2i-1)\pi }{2n}}$

$b_{i}=1\$

Ordnung n des Filters ungerade:

$i=2\ldots {\frac {(n+1)}{2}}$

$a_{1}=1\$

$b_{1}=0\$

$a_{i}=2\cos {\frac {(i-1)\pi }{n}}$

$b_{i}=1\$

Eigenschaften

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

• linearer Frequenzverlauf im Durchlassbereich
• schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
• beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung

Filterrealisierung

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

$C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$ für k ungerade

$L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]$ für k gerade

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Normalisierte Butterworth-Polynome

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise geschrieben als komplex konjugierte Pole s₁ und s_n. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ω_c=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

$B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]$ für n gerade

$B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]$ für n ungerade

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten Sie:

n Faktoren der Polynome $B_{n}(s)$ 1 $(s+1)$ 2 $s^{2}+{\sqrt {2}}s+1$ 3 $(s+1)(s^{2}+s+1)$ 4 $(s^{2}+0{,}7654s+1)(s^{2}+1{,}8478s+1)$ 5 $(s+1)(s^{2}+0.6180s+1)(s^{2}+1.6180s+1)$ 6 $(s^{2}+0{,}5176s+1)(s^{2}+1{,}4142s+1)(s^{2}+1{,}9319s+1)$ 7 $(s+1)(s^{2}+0{,}4450s+1)(s^{2}+1{,}2470s+1)(s^{2}+1{,}8019s+1)$ 8 $(s^{2}+0{,}3902s+1)(s^{2}+1{,}1111s+1)(s^{2}+1{,}6629s+1)(s^{2}+1{,}9616s+1)$

Weblinks

• Analogfilter, Othmar Marti and Alfred Plettl, Universität Ulm