Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Diese Notation wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826), der um 1798 auch die Bezeichnung „faculté“ dafür einführte, verwendet.

Definition

Für alle natürlichen Zahlen $n$ ist

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n,$

also das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis $n$. Außerdem gilt analog zum leeren Produkt

$0!=1.$

Fakultäten für negative oder nicht ganze Zahlen sind nicht definiert. Jedoch erhält man mit der Gammafunktion $\Gamma$ über die Formel

$n!=\Gamma (n+1)\,$

einen auf alle reellen Zahlen und sogar alle komplexen Zahlen außer den negativen ganzen Zahlen erweiterten Definitionsbereich.

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren durch

$0!=1$

und

$n!=(n-1)!\cdot n$

für $n>0$.

Beispiele

${\begin{aligned}1!&=1\\2!&=1\cdot 2=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\end{aligned}}$

Bedeutung für die Kombinatorik

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, $n$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen $X\to X$ (die Anzahl der Permutationen).

Beispiel

Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung: Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Verwandte Begriffe

• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.

Er gibt unter anderem die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden. Hier ist das beliebteste Beispiel das Zahlenlotto 6 aus 49 mit

${49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816$

Möglichkeiten.

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen vieler Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

• Eine kombinatorische Verallgemeinerung der Fakultät stellen die fallende Faktorielle $(n)_{k}$ und die steigende Faktorielle $(n)^{k}$ dar, denn $(n)_{n}=(1)^{n}=n!$.

• Die seltener verwendete Doppelfakultät ist das Produkt

$n!!={\begin{cases}n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots 2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {gerade} \\n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdots 1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\ \mathrm {ungerade} .\end{cases}}$

Zum Beispiel ist (2n-1)!! die Anzahl der echten (fixpunktfreien) involutorischen Permutationen von 2n Elementen. Häufig werden statt der Doppelfakultät die expliziten Ausdrücke

$(2k)!!=2^{k}\cdot k!$ bzw. $(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}\cdot k!}}$

benutzt.

• Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät $!n$ bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.

Numerische Berechnung

Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist 69! ≈ 1,7×10⁹⁸, da 70! ≈ 1,2×10¹⁰⁰ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt.

Wenn n groß ist, bekommt man eine gute Näherung für n! mit Hilfe der Stirling-Formel:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$

Dabei bedeutet $\sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\to \infty$ gegen 1 konvergiert.

Weblinks

• Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms (englisch, effiziente Algorithmen und weitere Informationen)
• Eric W. Weisstein: Factorial. In: MathWorld (englisch). (englisch)
• Folge A000142 in OEIS
• Berechnung von n! für n ≤ 2500 (JavaScript)
• Näherung für n! auch für große n (JavaScript)