Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Da sie einer Glocke ähnelt, wird sie häufig auch Glockenkurve genannt. Es handelt sich um eine Klasse von Verteilungen, die sich durch den Ort und die Breite unterscheiden, dem Mittelwert (bzw. dem Erwartungswert) und der Standardabweichung. Die grundlegende Normalverteilung ist die Normalverteilung mit dem Erwartungswert Null und der Standardabweichung Eins.

Der zentrale Grenzwertsatz gibt die Normalverteilung (oder Gauß-Verteilung oder Gauß-Funktion) als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallszahlen bei Grenzübergang von n gegen Unendlich an.

Ihre Dichtefunktion lautet:

$f(x)={\frac {1}{\sigma _{x}{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu _{x})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}}$

(wobei $\sigma _{x}$ die Standardabweichung und $\mu _{x}$ der Mittelwert von f(x) ist, siehe dazu auch Pi und Exponentialfunktion)

Ist eine Zufallsvariable $X$ normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ so schreibt man $X\sim N(\mu ,\sigma )$ . Ist der Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1, so spricht man von einer standardnormalverteilten Variable. Eine normalverteilte Zufallsvariable $X$ mit beliebigen Parametern kann mittels der Transformation

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

in eine standardnormalverteilte Variable $Z$ überführt werden.

So sieht die Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung aus. Angegeben sind die Intervalle im Abstand 1, 2 und 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert 0, die rund 68%, 95,5% und 99,7% der Fläche unter der Glockenkurve umfassen.

Die Normalverteilung ist eine Grenzverteilung, die nicht direkt beobachtet werden kann. Die Annäherung verläuft aber mit wachsendem n sehr schnell, so dass schon die Verteilung einer Summe von 30 oder 40 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einer Normalverteilung recht ähnlich ist.

Berechnung von normalverteilten Zufallsvariablen

Eine normalverteilte Zufallsvariable $x$ laesst sich unter anderem mit der Methode von Box-Muller aus zwei gleichverteilten Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}=U(0,1)$ berechnen:

x=(-2\log u_{1})^{1/2}cos(2\pi u_{2})

Die Methode von Marsaglia ist auf einem Computer noch schneller, da sie nur einen Logarithmus benutzt:

Generiere zwei gleichverteilte Zufallsvariablen $u_{1},u_{2}=U(0,1)$
Berechne $v=(2u_{1}-1)^{2}+(2u_{2}-1)^{2}$ . Falls $v\geq 1$ wiederhole 1.
$x=(2u_{1}-1)(-2\log v/v)$

Normalverteilung

Berechnung von normalverteilten Zufallsvariablen

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