Planck-Länge

Die Planck-Länge beschreibt die kleinstmögliche Längeneinheit, die es nach den Gesetzen der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie in der Natur geben kann. Jedes Objekt, das kleiner wäre, hätte aufgrund der Unschärferelation so viel Energie, dass es zu einem Schwarzen Loch zusammenstürzen würde. Man muss davon ausgehen, dass bei kleineren Abständen die bekannten Gesetze der Physik nicht mehr gültig sind, und der Raum seine uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verliert. Die Planck-Länge wurde nach dem Physiker Max Planck benannt, der die Quantenphysik mitbegründete.

Für die Planck-Länge l_p gilt die Abschätzung

$l_{p}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\approx 10^{-35}m.$

Diese Formel verbindet die 3 grundlegendsten Naturkonstanten der Physik, nämlich die Gravitationskonstante G, die Lichtgeschwindigkeit c und das Plancksche Wirkungsquantum $\hbar$. Die Planck-Länge ist daher ebenfalls eine fundamentale Naturkonstante (siehe auch Planck-Zeit und Planck-Masse).

Man findet zur obigen Formel durch die folgende bereits angedeutete Überlegung: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser x, so hat es aufgrund der Unschärferelation einen Impuls p, wobei

$xp\approx \hbar .$

Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

$mc^{2}=E=pc={\hbar c}/x.$

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwartzschild-Radius

$r={2Gm}/{c^{2}},$

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn je kleiner x gewählt wird, umso größer wird p und damit auch m und r bis schließlich $r\approx x$wird. Man erhält die Planck-Länge l_p, indem man in den beiden letzten Gleichungen l_p=x=r setzt, m eliminiert und nach l_p auflöst. Da es sich um eine grobe Abschätzung handelt, kann der Faktor 2 in der Formel für r vernachlässigt werden.

Man findet auch direkt zur obige Formel, wenn man einen mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge sucht, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und $\hbar$ enthält. Analoges gilt für die Planck-Zeit und die Planck-Masse, die zusammen mit der Planck-Länge das Einheitensystem bilden, das in relativistischen Quantentheorien zweckmäßigerweise verwendet wird.

Die Vermutung, dass ab einer gewissen, in etwa mit der Planck-Skala übereinstimmenden, mikroskopischen Skala die konventionellen Gesetze der Physik ihre Gültigkeit verlieren, wird dadurch bestärkt, dass die Renormierungsprozesse in der Quantenfeldtheorie nur unter der Annahme wohldefiniert sind, dass die Kontinuums-Theorie nur bis zu einer mikroskopischen Skala gültig ist, eine Annahme, die im Grunde genommen bereits in den Zenonschen Paradoxien vorweggenommen wurde.

Eine Theorie, welche eine Quantisierung der Raumzeit explizit durchführt, ist die Quantengeometrie von Burkhard Heim.