Potenzgesetz (Statistik)

Power law-Gesetze (Potenzgesetz) gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene als polynomielle Abhängigkeiten

Modelle zur Erklärung

Es gibt verschiedene Modelle zur Erklärung eines Potenzgesetzes.

Exponentielles Wachstum

Ein Potenzgesetz ergibt sich auch aus exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Größe der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz.

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt $t$ nach exponentiellem Wachstum

$n(t)=e^{\nu t}$

Die Größe einer zum Zeitpunkt $t_{i}$ gegründeten Stadt zum Zeitpunkt $t$ ist ebenso exponentiell wachsend

$k_{i}=e^{\mu (t-t_{i})}$.

Die Verteilungsfunktion der Größen von Städten ist

$P[k_{i}(t)<k]=P[e^{\mu (t-t_{i})}<k]$

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus

$P[k_{i}(t)<k]=P[\mu (t-t_{i})<\ln {k}]=P[t-t_{i}<\ln {k^{1/\mu }}]=1-P[t_{i}\leq t-\ln {k^{1/\mu }}]$

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt $t$, dass eine zufälligen Stadt $i$, vor einem gewählten Zeitpunkt $t_{0}$ gegründet worden ist, beträgt

$P_{t}[t_{i}<t_{0}]={\frac {n(t_{0})}{n(t)}}={\frac {e^{\nu t_{0}}}{e^{\nu t}}}=e^{\nu (t_{0}-t)}$

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze $t_{0}=t-\ln {k^{1/\mu }}$), ergibt sich die Verteilungsfunktion

$P[k_{i}(t)<k]=1-e^{\nu (t-\ln {k^{1/\mu }}-t)}=1-e^{\ln {k^{-\nu /\mu }}}=1-{\frac {1}{k^{\nu /\mu }}}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist (Ableitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion):

$p(k)=\alpha {\frac {1}{k^{1+\nu /\mu }}}$

Siehe auch: Pareto-Verteilung, Zipfsches Gesetz, Allometrie, Potenz

Literatur

• Yule (1924)
• Wills (1922)
• Fermi (1949)
• Zipf, G.K. (1949). Human Behavior and The Principles of Least Effort, Addison Wesley, Cambridge, MA