Offene Menge

Aus dem Teilgebiet Topologie der Mathematik

offene, abgeschlossene Kugel

Definition

Sei ${(\mathbb {X} ,d)}$ ein metrischer Raum. Dann bezeichnet

$B(x,r):=\{y\in \mathbb {X} |d(x,y)<r\}$ eine offene Kugel
$B[x,r]:=\{y\in \mathbb {X} |d(x,y)\leq r\}$ eine abgeschlossene Kugel

mit Mittelpunkt $x\in \mathbb {X}$ und Radius $r\in \mathbb {R}$, $r>0$.

Erläuterung

Bei der offenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel nicht mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen kleineren Abstand als den Radius r haben. Die runden Klammern B(x,r) sind signifikant!

Die geschlossene Kugel B[x,r] hingegen, mit den signifikanten eckigen Klammern, schliesst auch den Rand mit ein: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen kleineren oder gleichen Abstand als den Radius r haben.

offene Menge

Definition

Sei ${(\mathbb {X} ,d)}$ ein metrischer Raum. Dann heisst eine Menge $U\subset \mathbb {X}$ offen, falls $\forall {u\in \mathbb {X} }:{\exists {r}>{0}}$ mit $B(u,r)\subset U$

Erläuterung

Das heisst für jedes Element von U kann mindestens eine offene Kugel definiert werden, die wiederum Teilmenge von U ist.

Siehe auch

Topologischer Raum, Metrik, Mengenlehre