Freier Modul

Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe.

Definition

• Ein Modul über einem Ring $A$ heißt frei, wenn er isomorph zu einer direkten Summe von (nicht notwendigerweise endlich vielen) Kopien von $A$ ist.
• Ist $A$ kommutativ, und ist ein Modul $M$ isomorph zu einer direkten Summe $A^{(n)}$, dann heißt $n$ der Rang des freien Moduls $M$.

Wir nehmen nun an, dass $A$ ein Einselement besitzt.

• Ist $X$ eine Menge, so bildet die Menge der Abbildungen $f\colon X\to A$, für die $f(x)=0$ für alle bis auf endlich viele $x\in X$ gilt, einen $A$-Modul $A^{(X)}$, den freien $A$-Modul über $X$. Man identifiziert Elemente $x_{0}\in X$ mit den Funktionen

$X\to A,\quad x_{0}\mapsto 1,\quad x\mapsto 0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\not =x_{0}.$

Elemente von $A^{(X)}$ sind also endliche Summen

$a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},\quad a_{i}\in A,x_{i}\in X.$

Beispiele

• Alle Vektorräume sind frei (Existenz einer Basis).
• Freie Z-Moduln sind genau die freien abelschen Gruppen.
• Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

Abschwächungen

• projektiv
• flach
• torsionsfrei