Gebrochenes Ideal

Der Begriff gebrochenes Ideal ist eine Verallgemeinerung des Idealbegriffes aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra, die insbesondere in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielt. In gewisser Weise ist der Übergang von gewöhnlichen zu gebrochenen Idealen analog zum Verhältnis zwischen ganzen und rationalen Zahlen.

Definition

Es sei $A$ ein noetherscher Integritätsbereich und $K$ sein Quotientenkörper.

Ein gebrochenes Ideal zu $A$ ist ein endlich erzeugter $A$-Untermodul von $K$, der nicht nur die Null enthält.

Ein gebrochenes Ideal ${\mathfrak {a}}$ heißt eigentlich, wenn der Ring

$\mathrm {End} \,{\mathfrak {a}}=\{x\in K\mid x{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}\}$

gleich $A$ ist. (Es gilt stets $A\subseteq \mathrm {End} \,{\mathfrak {a}}.$)

Zu einem gebrochenen Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist das inverse Ideal ${\mathfrak {a}}^{-1}$ definiert als

${\mathfrak {a}}^{-1}=\{x\in K\mid x{\mathfrak {a}}\subseteq A\}.$

Es ist ein gebrochenes Ideal. Es gilt stets

${\mathfrak {a}}{\mathfrak {a}}^{-1}\subseteq A.$

Gilt Gleichheit, so heißt ${\mathfrak {a}}$ invertierbar, und es ist

${\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}^{-1})^{-1}.$

Beispiele

• Jedes gebrochene Hauptideal

$(a)=A\cdot a=\{x\cdot a\mid x\in A\}$

für $a\in K^{\times }$ ist ein eigentliches gebrochenes Ideal. Das inverse Ideal ist $(a^{-1}).$

• Das Ideal

${\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {5}})\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$

ist nicht eigentlich, denn

$\mathrm {End} \,{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].$

Siehe auch

• Dedekindring