Ideal (Ringtheorie)

In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Ringes R eine Teilmenge I, die abgeschlossen bezüglich R-Linearkombinationen ist.

Die Bezeichnung "Ideal" ist eine Ableitung von "ideale Zahl". Ideale wurden als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen. Mehr dazu im Abschnitt "Ideale Zahlen".

Definition

Um auch für nicht-Kommutative Ring geeignete Begriffe zu haben, unterscheiden wir zwischen Linksidealen, Rechtsidealen und beidseitigen Idealen.

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Linksideal, wenn

1: Die Null des Ringes liegt in I

2: Für alle a,b in I liegt a+b in I

3L: Für jedes a in I und r in R liegt ra in I

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Rechtsideal, wenn neben 1 und 2 auch gilt

3R: Für jedes a in I und r in R liegt ar in I

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt beidseitiges Ideal, wenn sie Linksideal und Rechtsideal ist, also 1, 2, 3L und 3R erfüllt. Der Ausdruck Ideal bezeichnet meist ein beidseitiges Ideal.

Ist der Ring kommutativ, dann fallen diese drei Begriffe zusammen. In einem nichtkommutativen Ring können sie sich aber unterscheiden.

Beispiele

• Die Menge 2Z der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring Z aller ganzen Zahlen
• Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten, die durch X²+1 teilbar sind, bilden ein Ideal im Polynomring R[X]
• Der Ring c(R) aller stetigen Funktionen von R nach R enthält das Ideal der Funktionen f mit f(1) = 0. Ein anderes Ideal in C(R) sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger, d.h. alle Funktionen, die für hinreichend große Argumente gleich 0 sind
• Die Mengen {0} und R sind stets Ideale eines Rings R. Ist der Ring R kommutativ, dann ist er genau dann ein Körper, wenn {0} und R seine einzigen Ideale sind.

• Die Menge 2Z+1 der ungeraden ganzen Zahlen ist kein Ideal in Z, da es die 0 nicht enthält

Eigenschaften

Da ein Ideal I die 0 enthält, ist es nichtleer. Tatsächlich kann man Bedingung 1 in die Forderung umwandeln, dass I nicht leer ist.

Jedes einseitige Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe (R, +). Die Umkehrung gilt nicht, z.B. ist Z eine additive Untergruppe von R, aber kein Ideal.

Jedes beidseitige Ideal ist ein Unterring von R. Auch hier gilt die Umkehrung nicht.

Der Ring R kann als Linksmodul über R aufgefasst werden, und die Linksideale in R sind dann genau die Untermoduln des Moduls R. Analog sind die Rechtsideale genau die Untermoduln des R-Rechtsmoduls R und die beidseitigen Ideale genau die Untermoduln des R-Bimoduls R. Ist der Ring R kommutativ, dann fallen diese drei Modul-Typen zusammen, genau wie die drei Ideal-Typen.

Arten von Idealen

Die ersten beiden genannten Beispiele sind Hauptideale. Das von einem Element a erzeugte Haupt(-links-)ideal ist Ra := {ra : r in R}. Das rechtsseitige Hauptideal aR ist analog definiert. Ist der Ring kommutativ, stimmen Ra und aR überein (und bilden ein beidseitiges Ideal); in dem Fall schreibt man das Hauptideal oft als <a> oder (a).

Ein Ideal I heißt echtes Ideal, wenn es nicht ganz R ist; dies ist genau dann der Fall, wenn das Einselement 1 nicht in I liegt.

Ein Ideal I heißt maximales Ideal, wenn es das einzige echte Ideal ist, in dem es enthalten ist, d.h. wenn gilt

$I\subset J\subsetneq R\Rightarrow I=J$

Jedes Ideal ist in einem maximalen Ideal enthalten. Das wird mit Hilfe des Lemma von Zorn gezeigt.

Ein echtes Ideal heißt Primideal, wenn es folgende Eigenschaft hat: Für alle a und b aus R mit ab in I gilt, dass a in I oder b in I liegt (oder beide). Jedes maximale Ideal ist prim.

Faktorringe und Kerne

Ideale sind wichtig, weil sie als Kerne von Ringhomomorphismen auftreten und die Definition von Faktorringen ermöglichen.

Ein Ringhomomorphismus f vom Ring R in den Ring S ist eine Funktion mit

f(a+b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a) f(b), f(1) = 1.

Der Kern von f ist definiert als

ker(f) := {a in R : f(a) = 0}.

Der Kern ist stets ein beidseitiges Ideal von R.

Startet man umgekehrt mit einem beidseitigen Ideal I von R, dann kann man den Faktorring R/I (sprich: "R modulo I") definieren, dessen Elemente die Form

a + I := {a+i : i in I}

für ein a aus R haben. Die Abbildung

p: R -> R/I, p(a) = a + I

ist ein surjektiver Ringhomomorphismus, dessen Kern genau das Ideal I ist. Damit sind die Ideale eines Rings R genau die Kerne von Ringhomomorphismen von R.

Ist der Ring R kommutativ und I ein Primideal, dann ist R/I ein Integritätsring, ist I ein maximales Ideal, dann ist R/I sogar ein Körper.

Die extremsten Beispiele von Faktorringen eines Ringes R entstehen durch Herausteilen der Ideale {0} oder R. Der Faktorring R/{0} ist isomorph zu R, und R/R ist der triviale Ring {0}.

Verknüpfung von Idealen

Die Summe zweier Ideale I und J ist definiert als die Menge aller Summen mit Summanden aus I und J:

I + J := {i+j : i in I, j in J}

Ist A eine Teilmenge des Rings R, dann bezeichnet man mit <A> oder (A) das kleinste Ideal in R, das A enthält und nennt es das von A erzeugte Ideal. Es besteht als allen endlichen Summen der Form

r₁a₁s₁ + ··· + r_na_ns_n

wobei die r_i und s_i in R und die a_i in A liegen. Das von a erzeugte Hauptideal ist der Spezialfall einer einelementigen Menge A = {a}.

Das Produkt zweier Ideale I und J ist definiert als das von der Menge aller Produkte aus I und J erzeugte Ideal:

IJ := <{ij : i in I, j in J}>

Die Menge aller Produkte ist im allgemeinen kein Ideal.

Mit den Verknüpfungen Summe und Durchschnitt bildet die Menge aller Ideale eines Ringes einen Verband.

Einige wichtige Eigenschaften dieser Verknüpfungen werden in den Noetherschen Isomorphiesätzen zusammengefasst.

"Ideale Zahlen"

Die Bezeichnung "Ideal" ist eine Ableitung von "ideale Zahl". Ideale wurden als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen. In den ganzen Zahlen Z kann jedes Ideal mit einer (bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmten) Zahl identifiziert werden. Zahlen und Ideale sind in Z also fast identisch (wie in jedem Hauptidealring), und bei Untersuchungen der Teilbarkeit entfällt auch dieser Unterschied. In anderen Ringen verallgemeinern Ideale bestimmte Eigenschaften von Zahlen. Zum Beispiel untersucht man Primideale anstelle von Primelementen, definiert teilerfremde Ideale und beweist eine Version des chinesischen Restsatzes für Ideale. In bestimmten Ringen, die in der Zahlentheorie wichtig sind, den so genannten Dedekindringen, erhält man sogar eine Version des Fundamentalsatzes der Arithmetik: In diesen Ringen kann jedes vom Nullideal verschiedene Ideal eindeutig als Produkt von Primidealen geschrieben werden.