Faktorraum

Der Faktorraum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Unterraumes entsteht.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und $U$ ein Unterraum von $V$. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf $V$ durch

$v_{1}\sim v_{2},\quad \mathrm {falls} \ v_{1}-v_{2}\in U,$

d.h. wenn sich $v_{1}$ und $v_{2}$ um einen Vektor aus $U$ unterscheiden, oder anders gesagt: wenn die Gerade durch die Punkte $v_{1}$ und $v_{2}$ parallel zu $U$ ist.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes $v$ ist

$[v]=v+U=\{v+u\mid u\in U\},$

anschaulich der zu $U$ "parallele" Unterraum durch $v$. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet; dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.

Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit $V/U$ bezeichnet und heißt der Faktorraum von $V$ nach $U$. Er bildet einen Vektorraum, wenn man die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert:

• $[v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]$
• $\lambda \cdot [v]=[\lambda v]$

für $v,v_{1},v_{2}\in V$ und $\lambda \in K$.

Eigenschaften

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$\pi \colon V\to V/U,\quad v\mapsto [v].$

• Ist $W$ ein Komplement von $U$ in $V$, d.h. ist $V$ die direkte Summe von $U$ und $W$, so ist die Einschränkung von $\pi$ auf $W$ ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, $V/U$ als Unterraum von $V$ aufzufassen.

Siehe auch: Homomorphiesatz