Diskussion:Einbettungssatz von Whitney

Minimale Dimensionen

Die englische Fassung weicht von den Dimensionsangaben ab, sie behauptet, dass $2n$ eine scharfe untere Grenze ist, und gibt die reellen projektiven Räume als Beispiel. Für $n=1$ ist die deutsche Fassung definitiv falsch.--Gunther 13:01, 29. Mär 2005 (CEST)

Die Dimensionsangabe war ein schnellschuss, ich glaube ich habs von plantetmath, da steht 2n+1. Man muesste die orginalquellen konsultieren. Die Angabe einer unteren Schranke mit Beispiel scheint mir allerdings nicht sinnvoll- klar kann man einige Mannigfaltigkeiten in eine kleine Dimension einbetten (die unterste Schranke waere aber n klarerweise). Durch Angabe eines Beispiels fuer die die einbettung in 2n funktioniert, zeigt man aber nicht dass das fuer alle Mannigfaltigkeiten geht. Warum ist n=1 definitiv falsch?. Wenn du mehr weisst, bitte verbessern, - topolgie ist nicht mein hauptgebiet Unyxos 20:30, 30. Mär 2005 (CEST)

Es ist deutlich leichter, eine Mannigfaltigkeit in einen $\mathbb {R} ^{N}$ für ausreichend großes $N$ einzubetten. Die Frage ist dann eben, welches minimale $N$ für alle $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeiten ausreichend ist. Natürlich gibt es Mannigfaltigkeiten, für die weniger ausreicht. Die Behauptung im letzten Satz des Artikels, dass $N=2n+1$ minimal sei, ist für $n=1$ falsch, da jede zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit (ohne Rand) diffeomorph zu $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {S} ^{1}$ ist, sich also in den $\mathbb {R} ^{2}$ einbetten lässt. Die englische Seite behauptet, dass $N=2n$ minimal ist und für den $n$-dimensionalen projektiven Raum auch tatsächlich nötig ist.--Gunther 20:45, 30. Mär 2005 (CEST)

Die Frage ist doch: was ist die kleineste Zahl k sodass für alle n die Einbettung einer n-dimensionalen Mf in den R^k funktioniert. Wie gesagt ich habe schon beide Versionen gesehen k = 2n und k = 2n+1 und kann die Frage nicht beantoworten. Die minimale Zahl k wär die kleinste, Zahl für die dies für alle n geht. Dass man unter Umstaenden kleinere Zahlen k finden kann, wenn man die Menge der Manigfaltikeiten einschränkt, (zb. n=1 oder projektive Räume) ist klar, damit ist jedoch die ursprüngliche Aussage (2n+1 geht immer) nicht falsch. Um die Frage zu beantworten müsste man eine n-dimensionale Mf finden, die sich nicht in den R^2n einbetten laesst. (Die Beispiele (projektiver Raum) in der engl. Wp. sind jedoch soweit ich sehe positiv Beispiele d.h die Einbettung von n -> 2n funktioniert). Unyxos 21:38, 30. Mär 2005 (CEST)