Satz vom regulären Wert

Der Satz vom regulären Wert ist ein Resultat aus der Differentialgeometrie. Auf Englisch heisst dieser Satz "Submersion Theorem". und macht eine Aussage im Themenbereich der Differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten.

Satz

Es seien M und N differenzuierbare Mannigfaltigkeiten und es sei $f:M\to N$ eine r-mal differenzierbare Abbildung. Außerdem sei n ein regulärer Wert von f. Dann ist die Menge

$U:=f^{-1}(n)=\{m\in M|f(m)=n\}$

eine abgeschlossene, differentierbare Untermannigfaltigkeit von M. Für den Tangentialraum gilt dann

$T_{m}U=\operatorname {Kern} T_{m}f$.

Falls N endlichdimensional ist, so gilt für die Kodimension von U $\operatorname {codim} (U)=\dim N$.

$\dim(U)=\dim(M)-\dim(N)$.

Beweis

Wegen der Surjektivität der Differentiale $Df(a):X\to Y$ beim Punkt $a\in M$, ist $dimX\geq dimY$. Setze nun n := dimX und d := dimX - dimY mit einem Isomorphismus $i:Y\to \mathbb {R} ^{n-d}$ und betrachten die Abbildung $F:X\to \mathbb {R} ^{n-d},F(x):=i\circ f(x)-C,C:=i(c)$.

Nun gilt: $M=F^{-1}(0)$. Darüber hinaus ist jedes Differential $dF(a)=i\circ df(a)$ an der Stelle $a\in M$ surjektiv und die Differentiale der Komponentenfunktionen $F_{1},...F_{n-d}$ sind linear unabhängig. Somit ist M also eine Untermannigfaltigkeit von X mit der Dimension d.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer, Berlin/Heidelberg 2000, S. 118 f., ISBN 3-540-43580-8,