Satz von Fischer-Riesz

Der Satz von Fischer-Riesz (nach Ernst Sigismund Fischer (1875−1954) und Frigyes Riesz) ist ein Satz aus der Funktionalanalysis, der einen Überblick über die Hilberträume gibt.

Ist $H$ ein Hilbertraum und $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis von $H$, so ist die Abbildung

$\Phi :\,H\to \ell ^{2}(I);\quad x\mapsto \left(\langle x,e_{i}\rangle \right)_{i\in I}$

ein isometrischer Isomorphismus.

Folgerungen

Das heißt: Zwei Hilberträume $H$ und $K$ mit Ortonormalbasen $\left(e_{i}\right)_{i\in I}$ und $\left(e_{j}\right)_{j\in J}$ sind isometrisch isomorph, wenn $I$ und $J$ die gleiche Kardinalität haben.

Da jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (Anwendung von Zorns Lemma), folgt daraus, dass es bis auf Isomorphie genauso viele Hilberträume gibt wie Kardinalzahlen.

Aus dem Satz lässt sich folgern, dass jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum zum Folgenraum $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ isometrisch isomorph ist.