Diskussion:Banach-Tarski-Paradoxon

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Verständliche Version für den Laien: Habe den für den Laien verständliche Teil nach vorne geholt, von allen Fachbegriffen (Einheitskugel, R³) befreit und partiell umformuliert. Die Fachleute können sich weiter unten austoben ;-) Wolfgangbeyer 23:36, 21. Jan 2004 (CET)

Habe hinsichtlich der erfoderlichen Mindestzahl von Teilen für die Kugelzerlegung unterschiedliche Werte in der Literatur gefunden. Manchmal wird 5 und manchmal 6 genannt. Habe hier 6 gewählt, um auf der sicheren Seite zu sein. Wer weiss die richtige Anzahl? Irgend jemand hat mir auch berichtet, dass in diesem Fall eine Teilmenge lediglich der Kugelmittelpunkt sei. Ist aber keine sehr verlässliche Information, da schon so lange her.Wolfgangbeyer 00:57, 30. Jan 2004 (CET)

Bin wohl zu sehr Laie, habe aber eigentlich nicht so genau verstanden worum es geht. Eine Kugel lässt sich in zwei gleichgroße Kugeln aufteilen. Das ist paradox. Kann ich nachvollziehen. Mir ist aber weder der Beweis klar, noch wie man auf die Idee kommt. Vielleicht ist es zu viel verlangt, aber möglicherweise auch ein Ansporn an die Fachkundigen hier noch etwas anschaulicher zu werden. Auch das "scheinbar" habe ich nicht verstanden. Ist es nun paradox oder nicht. Mhh. Ahnungslos, 82.83.0.235 01:09, 30. Jan 2004 (CET)

Ich versteh das im Groben so, dass die Kugel ja aus unendlich vielen Punkten besteht. Diese unendlich Punkte kann ich ja in zwei Hälften teilen. Das sind dann aber zwei mal unendlich viele Punkte. Und die kann ich dann wieder beliebig zusammensetzen. Z.B. zu zwei neuen Kugeln. Scheinbar paradox ist das Ganze, denk ich, weil es einem anschaulich nicht in den Kopf will, aber mathematisch beweisbar ist. Ak

Aber wieso muss ich dann in 5-6 Teile teilen. Laienhaft: Nehme ich halt einfach jeden zweiten Punkt und schon habe ich zwei Kugeln. Wie gesagt, etwas mehr Anschaulichkeit im Text wäre toll. 82.83.0.235 01:27, 30. Jan 2004 (CET)

Würde man jeden zweiten Punkt nehmen, dann hätten die beiden neuen Kugeln an den entsprechenden Stellen Lücken. Im Text steht aber ausdrücklich " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Ganz abgesehen davon ist es nicht möglich jeden zweiten Punkt zu nehmen, denn das würde voraussetzen, dass jeder Punkt einen eindeutigen Nachbarn hat. Hat er aber nicht, denn zwischen zwei beliebig eng benachbarten Punkten liegt immer noch ein weiterer, genaugenommen sogar unendlich viele, wenn man dieses Argument wiederholt anwendet. Zur Frage weiter oben: Es liegt im Wesen der meisten Paradoxa, nur scheinbar zu sein, und sich bei genauerer Betrachtung als nicht paradox aufzulösen. Denn die Natur ist nun mal nicht in sich widerprüchlich. So auch hier. Habe aber diese vielleicht etwas irritierende Formulierung beseitigt Wolfgangbeyer 19:09, 31. Jan 2004 (CET)

Ich habe mal in der Uni mit 2 anderen Studenten zusammen den Beweis nachvollzogen (mit 30 Teilen) (um den Beweis einmal vollständig vorzuführen haben wir 6 Stunden gebraucht). Es sollte deutlicher gesagt werden, daß der Satz von Banach-Tarski ohne das Auswahlaxiom nicht auskommt. Banach und Tarski haben eine Zerlegung der Einheitskugel in mehr als 6 Teile gefunden, mit denen der Beweis möglich ist. Später dann wurde eine Zerlegung in 5 Teile gefunden, mit der das möglich ist (hab die Zerlegung auch gesehen, dh. ihre Beschreibung mittels Auswahlaxiom ;), hab mir den Beweis zu den 5 Teilen aber nicht angeschaut, weil der noch schwerer ist..). Im übrigen ist es nicht nur beweisbar, daß diese Zerlegung existiert, es ist auch beweisbar, daß sie nicht direkt angegeben werden kann. Ishka 05:41, 1. Mär 2004 (CET)

So besser? Hab den Hinweis aufs Auswahlaxiom nach vorn geholt und die Nicht-Angebbarkeit der Teile genannt. Wenn du weiter Verbesserungsmöglichkeiten siehst, editiere den Artikel nach deinen Vorstellungen. --SirJective 11:13, 1. Mär 2004 (CET)

Achja, da kommt mir wieder eine Frage, die ich stellen wollte: Im Text steht " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Sind die Kugeln tatsächlich lückenlos - enthalten also jeden Punkt, den ich erwarten würde - oder ist die "Lückenmenge" bloss eine Nullmenge? --SirJective 11:16, 1. Mär 2004 (CET)

Habe alles noch mal etwas umgestellt und sprachlich überarbeitet. Ich finde bis zur Formulierung des Satzes selbst sollte auch der interessierte Laie folgen können. Die Erwähnung des Auswahlaxioms ohne Erläuterung hängt ihn aber ab. Habe daher diese Passage wieder hinter den Satz gestellt, aber oben schon mal den Begriff Messbarkeit eingeführt. Ferner hing die Erwähnung von R^d in der Luft, da d ja erst im Satz definiert wird. Ich bin nur Physiker und kenne die Details des Beweises selbst nicht. Benötigt man das Auswahlaxiom tatsächlich für den Beweis der Existenz nicht messbarer Mengen oder nur irgendwo anders im Verlauf der Beweisführung des Satzes von Banach-Tarski? Zu SirJective Frage: Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass da keine Lücken sind. Alles andere würde mich doch ziemlich enttäuschen ;-) Wenn ich mir den Wortlaut des Satzes ansehe, wäre doch bereits eine Lücke von nur einem einzigen Punkt ein Widerspruch zum Satz oder nicht? Aber ich bin wie gesagt kein Mathematiker. Wolfgangbeyer 00:23, 2. Mär 2004 (CET)

Hallo Ishka, wir sind uns alle einig, dass das Auswahlaxiom hier wichtig ist. Dem Umstand, dass Du schreibst Hinweis auf Auswahlaxiom wieder hinzugefügt entnehme ich aber, dass Dir entgangen ist, dass ich es nicht entfernt sondern nur verschoben hatte und zwar mit Begründung hier auf der Diskussionsseite, die sich inhaltlich mit dem deckt, was unter Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel im Abschnitt Verständlichkeit zu lesen ist. Ferner fand ich die Formulierung (wenn man nur in ZF arbeitet, ... nicht gerade toll. Für welchen Leser schreiben wir hier? Ganz abgesehen davon, dass man Text in Klammern vermeiden sollte, wie in Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel Abschnitt Stil erwähnt. Wolfgangbeyer 20:39, 3. Mär 2004 (CET)

Darf ich vorschlagen, den Artikel in zwei Bereiche zu gliedern - einen "allgemeinverständlichen" und einen präzisen? Letzteren mitsamt der Beweisidee (s. den englischen Artikel). Im ersten Abschnitt kann dann das Auswahlaxiom von mir aus unerwähnt bleiben, es sollte dafür im zweiten umso deutlicher hervorgehoben werden. --SirJective 22:22, 3. Mär 2004 (CET)

Gute Idee. Wäre im Prinzip auch gar nicht dagegen, relativ weit oben zu erwähnen, dass die ganze Angelegenheit auf einem in der Fachwelt umstrittenen Axiom beruht. Mir war dieser Umstand bisher nicht bekannt. Habe es erst eben unter Auswahlaxiom erfahren. Dachte immer, in der Mathematik gäbe's (so gut wie) keine Meinungsverschiedenheiten. Würde mich sehr interessieren, wie groß der Anteil der Mathematiker ist, die dieses Axiom ablehnen. Hat da jemand eine Vorstellung von? Wolfgangbeyer 22:52, 3. Mär 2004 (CET)

Habe den 3. Absatz, den 128.97.70.87 (01:19, 21. Apr 2004) eingefügt hatte, durch einen einzigen Satz im 2. Absatz ersetzt. Er enthielt viele Sätze aber kaum Informationen, die über das hinausgehen, was schon im 2. Absatz stand. Blähte den Artikel nur unnötig auf. Und Galileo-Transformation? Gemeint war wohl Galilei-Transformation, aber die enthält eine hier völlig irrelevante Geschwindigkeit und es fehlen ihr die Drehungen, so dass das hier nicht die angemessene Transformation sein kann. --Wolfgangbeyer 17:56, 28. Apr 2004 (CEST)

--- Der Hinweis, das "In diesem Sinne die Quadratur des Kreises" möglich sei, halte ich für sachlich falsch. Zumindest muss deutlicher herauskommen, das das klassische Quadraturproblem mit Zirkel und Pi und Lineal so nicht gelöst werden kann. - ToD

Ich bin davon ausgegangen, dass die Formulierung "in diesem Sinne" die Sache bereits ausreichend relativiert. Aber ich habe zur Sicherheit noch ein paar Worte hinzugefügt. --Wolfgangbeyer 17:44, 1. Mär 2005 (CET)

Ich habe den Begriff der Bewegung mit der Definition verlinkt. Ich gehe davon aus, dass die Kongruenzabbildung das sit, was hier gemeint ist. (?)

Schamlose Übertreibung?

Hallo Gunther, was fandest Du eigentlich an der bisherigen Formulierung so schamlos übertrieben? Kennst Du viele noch verblüffendere und irritierendere Aussagen der Mathematik? Schließlich stand da nicht "die verblüffendste und irritierendedste" sondern "eine der verblüffendsten und irritierendedsten" und das auch noch durch ein "wohl" abgeschwächt. Ich finde das durchaus angemessen. Ich weiß nicht genau, wie moderne Mathematik definiert ist, aber ich hätte spontan 1924 schon dort hineingesetzt. Die moderne Physik, die moderne Kunst und Musik sind auf jeden Fall dort angesiedelt. Würde mich wundern, wenn da die Mathematik hinterhergehinkt wäre ;-). Die Formulierung "Das vielleicht verblüffendste Ergebnis der modernen, auf der Mengenlehre basierenden Mathematik ist das Paradoxon von Banach-Tarski" im Weblink am Artikelende bestätigt meine Einschätzung ;-). Deine Fomulierung leidet auch sprachlich ein wenig z. B. schon dadurch, dass der Aspekt der naiven bzw. menschlichen Anschauung zweimal angesprochen wird, nämlich auch am Ende des ersten Absatzes. Habe daher die alt Version erst mal wieder hergestellt. --Wolfgangbeyer 21:42, 14. Mär 2005 (CET)

Naja, 1924 zähle ich nicht zur modernen Mathematik, da waren viele Grundlagen wie beispielsweise topologischer Raum noch im Entstehen. (Ich zähle Musik vor 1950 auch nicht zur modernen Musik.) Ich weiß nicht, wie verblüfft man damals war, man kannte ja bereits Resultate wie die Hilbert-Kurve. Ich sehe das Banach-Tarski-Paradoxon eher in einer Reihe mit dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz oder Cohens Unentscheidbarkeitsergebnissen insofern, als es ein Projekt als vollständig gescheitert markiert. Das finde ich aber nicht irritierend. Es gibt eben keine konsistente Verallgemeinerung des Volumenbegriffs. Aber: who cares, hat jemand überhaupt schon einmal eine Nicht-Borel-Menge gesehen? Irritierend finde ich vielmehr positive Resultate, die meiner Vorstellung zuwiederlaufen, wie z.B.:

Es gibt eine überabzählbare totalgeordnete Teilmenge der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, d.h. "man kann öfter etwas in die natürlichen Zahlen hineinstecken als es überhaupt Elemente gibt".

Meine Formulierung war nicht glücklich, mich persönlich hätte der unpassende Satzanschluß mit "danach" viel mehr gestört, aber ich wollte nicht den ganzen ersten Absatz umschreiben.--Gunther 23:06, 14. Mär 2005 (CET)

Naja, Schönberg hätte ich schon zur modernen Musik gezählt, aber bei der modernen Mathematik kenne ich mich zuwenig aus. Da weiter unten ja eine Jahreszahl steht, können wir "moderne" aber auch gerne weglassen. Die Hilbert-Kurve finde ich auch weniger irritierend, da wesentliche Eigenschaften über die üblichen grafischen Darstellungen zu ihrer Konstruktion ja durchaus plausibel sind. Auch das mit der überabzählbare totalgeordnete Teilmenge der Potenzmenge der natürlichen Zahlen scheint mir nicht so irritierend, da nicht so leicht überschaubar. Auch ist ja die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 überabzählbar, obwohl ich jede einzelne als in Binärdarstellung mit abzählbar vielen Ziffern schreiben kann (hoppla, habe ich damit nicht sogar einen unmittelbaren Beweis für Deinen Satz gefunden, indem ich jeder dieser Binärzahlen eineindeutig eine Teilmenge von N zuordne, derart dass n genau dann Element der Teilmenge ist, wenn die Binärzahl an der Stelle n hinter dem Komma eine 1 hat?). Was für mein Empfinden schon auch ziemlich zur Rätselhaftigkeit des Banach-Tarski-Paradoxons beiträgt, ist der Umstand, dass man keinen konstruktiven Beweis kennt. Vielleicht beruht das verblüffende auch nicht zuletzt darin, dass jeder Laie die Aussage sofort nachvollziehen kann, anders als die Aussagen, die Du zitierst. Ich habe jedenfalls bisher ziemlich jeden Laien, dem ich das erzählt habe verblüfft. Das "danach" hat mich gar nicht so gestört. "Sie besagt, dass ..." führt leider zu zweimal zu "dass". Wie wärs mit "Das Banach-Tarski-Paradoxon ist eine verblüffende Aussage der Mathematik, die den Volumenbegriff in Frage stellt." als erstem Satz? --Wolfgangbeyer 00:48, 15. Mär 2005 (CET)

Du hast das Wort "totalgeordnet" übersehen oder nicht auf die Inklusionsrelation bezogen. Es geht um eine "überabzählbare aufsteigende Folge" von Teilmengen von N, konkret ein System X_i von Teilmengen von N für alle reellen Zahlen i, so dass

X_{i}\subsetneq X_{j}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ i<j

gilt.

Die Hilbert-Kurve geht in der Richtung von Banach-Tarski, weil sie zeigt, dass auch "eindimensionale" Objekte zweidimensionales Volumen haben können. (Das Problem liegt in diesem Fall aber natürlich nicht beim Maß, sondern beim Dimensionsbegriff.)

Die Nichtkonstruktivität von B-T ist nicht so besonders überraschend, da die Gültigkeit vom Auswahlaxiom abhängt. Ob ein Laie die Aussage von B-T nachvollziehen kann, finde ich nicht so klar. Ich möchte behaupten, dass die meisten Laien sich eine völlig falsche Vorstellung davon machen, was Mathematiker noch unter "zerlegen" und "Teile" verstehen. Wenn die Verblüffung alleine darauf beruht, ist das noch lange kein verblüffendes Resultat der Mathematik, höchstens ein auf verblüffende Weise falsch zu verstehendes.

"die den Volumenbegriff in Frage stellt" finde ich nicht gelungen. Dem Volumenbegriff beispielsweise für Borelmengen tut es keinen Abbruch, und schlimmere Mengen will sich ohnehin niemand vorstellen. Wie wäre es mit "die illustriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Mengen verallgemeinern lässt"?--Gunther 01:35, 15. Mär 2005 (CET)

Habe gerade nochmal in die Originalversion geschaut: "spektakulär" passt für mein Gefühl nicht zu "moderne Mathematik". "Spektakulär" war das vielleicht vor 80 Jahren, aus der Sicht der heutigen Mathematik ist das eher ein nettes Kuriosum.--Gunther 01:54, 15. Mär 2005 (CET)