Diskussion:Kategorientheorie

Ich habe die Beispiele

• ein Beispiel aus der Informatik ist $\mathbf {Data}$, die Menge aller in einer vorgegebenen Programmiersprache verfügbaren Datentypen als Objekte und die Funktionen als Morphismen. Ein verwandtes Beispiel sind die XML-Dokumente als Objekte und XSL-Transformationen als Morphismen.

gelöscht. Das mit den Programmiersprachen und Funktionen ist völlig daneben, die XSL Transformationen sind nicht assoziativ !!!

Bemerkungen

1. Statt »Die Grundbegriffe dieser Arbeit sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.« muß es natürlich heißen: » Die Grundbegriffe (sc. dieser Theorie) . . . «
2. Es ist dann weiter von einem »Jargon zum Ausdrücken verschiedener mathematischer Theorien« die Rede: das scheint mir nicht so glücklich, sowohl stilistisch wie inhaltlich.
3. Ein Aspekt der Kategorientheorie ist es, gewisse Sachverhalte wie etwa universelle Konstruktionen in adäquaterer Form darzustellen, als dies mit den Mitteln der Mengenlehre und universellen Algebra möglich ist (man vergleiche die umständlichen Konstruktionen Bourbakis im 4. Kapitel der Théorie des Ensembles).
4. In erster Linie aber dient sie dazu, wie schon im Ausgangsfall der algebraischen Topologie, verschiedenartige Strukturen in einen Zusammenhang zu stellen, in dem sie deutlicher gesehen und bearbeitet werden können. Hier wird nicht von Strukturen »abstrahiert«, vielmehr werden sie verdeutlicht.
5. Was das folgende bedeuten soll, ist mir schleierhaft: »Da der Begriff Morphismus ohne die Notation der Mengenlehre verwendet wird, bietet die Kategorientheorie eine weitreichende Verallgemeinerung des Funktionenbegriffs, die sie auch für computerwissenschaftliche Disziplinen wie die Algorithmik interessant macht.« Es gibt informatische Anwendungen, aber wirklich deshalb, weil die Kategorientheorie »elementfrei« argumentiert? Nicht aus den o.a. Gründen?
6. Es ist schon richtig, daß man den Begriff des Morphismus als eine Verallgemeinerung des Abbildungsbegriffes ansehen kann, allerdings ist der Abbildungsbegriff auch schon sehr allgemein, insofern ist dies hier irreführend. Es werden ja nicht alle Abbildungen betrachtet, sondern nur solche, die für die betreffende Struktur irgendwie spezifisch sind; wenn man sich dies vor Augen führt, ist der Schritt zum kategorientheoretischen Morphismus nicht mehr so groß. Die Verallgemeinerung liegt m. E. eher darin, daß man den Transformationscharakter der Abb. vernachlässigt, ungefähr so, wie man in der Gruppentheorie von Transformationsgruppen zu abstrakten Gruppen gekommen ist.
7. Aus dem Abschnitt »Begriffe« wurden die doch sehr wichtigen Begriffe Morphismus und natürliche Transformation entfernt um weiter unten eine m. E. wenig hilfreiche Behandlung zu erfahren.
8. Die Definition ist mißlungen, es heißt z. B. »Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zum einen eine Klasse von Objekten und zum anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten.« Im Vordergrund sollten aber die Morphismen stehen (bekanntlich kann man auf die Objekte verzichten, sie dienen nur der sprachlichen Bequemlichkeit). Des weiteren: »Die Morphismen müssen verknüpfbar sein«, davon kann aber i.A. gar keine Rede sein. -- Grundsätzlich glaube ich nicht, daß es gut ist, die Def., wie hier geschehen, einleitend erst noch zu paraphrasieren.
9. Die Beispiele sind aus dem Inhaltsverzeichnis verschwunden, das Beispiel mit der Relation ist falsch (sie muß auch transitiv sein), ähnlich für Graphen (MacLane, II.7. spricht von einer »Präkategorie«).
10. Die folgenden Abschnitte sind mehr oder minder mißglückt, so ist mir neu, daß Isomorphie »[e]in Kernbegriff der Kategorientheorie« ist, im Gegensatz zu Funktor etwa, oder daß kleine Kategorien so zentral sind, daß es lohnt, ihnen einen langen Abschnitt zu widmen.
11. Eine universelle Konstruktion heißt so, nicht weil sie »für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar« ist, sondern weil sie Gegenstände (universelle Pfeile, universelle Elemente) liefert, die eine »universelle Eigenschaft« in dem Sinne haben, daß jeder geeignete Pfeil darüber faktorisiert, etc. Bsp. freie Gruppe, Tensorpodukt, u.v.a.m., vgl. MacLane (III.1).

Usw. . . Ptrs 23:34, 3. Jul 2004 (CEST)

1. Der deutschsprachige Begriff für "Equalizer" ist Differenzkern, der für "Kernel" Kern.--Unknown

Ich würde schon zustimmen, dass Isomorphie von zentraler Bedeutung ist, aber dann sollte man wenigstens erwähnen, dass Funktoren Isomorphismen erhalten...--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Überarbeitung

Habe angefangen, den Artikel zu überarbeiten. Momentan ist der Artikel viel zu lang, und manches gibt es schon als separate Seite (Produkt (Mathematik), Morphismus). Adjunktion kann man problemlos abtrennen, auf die jeweiligen universellen Konstruktionen kann man verweisen. Kommentare soweit?--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Evtl. sollte man den Abschnitt "Yoneda und Universelles" in einen eigenen Artikel verschieben, der dann auch so etwas wie "eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus" erklärt.--Gunther 14:37, 26. Feb 2005 (CET)

To-Do-Liste

Sammelstelle für Begriffe, die noch erklärt werden müssen.--Gunther 00:26, 26. Feb 2005 (CET)

• natürliche Äquivalenzen
• Äquivalenzen von Kategorien
• volltreue Funktoren
• Anfangs- und Endobjekte
• zumindest die Hom-Funktoren ausfuehrlich hinschreiben
• Unter- und Quotientenobjekte

Lost & Found

• Weiß jemand, was Reflektionen und Coreflektionen sind? Waren in der alten Fassung ohne Definition erwaehnt, habe ich geloescht.--Gunther 00:37, 26. Feb 2005 (CET)
• "Falls es für jede Familie von Objekten einer kleinen Kategorie ein Produkt gibt, dann ist die Kategorie isomorph zu einem vollständigen Verband." Wahr oder falsch?--Gunther 01:26, 26. Feb 2005 (CET)