Geometrische Reihe

Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist die Folge, deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist.

Berechnung einer Geometrischen Reihe

Es seien $a_{k}$ die Glieder einer geometrischen Folge. Es gilt also $a_{k}=a_{0}\cdot q^{k}$, wobei $a_{0}$ das Anfangsglied und $q$ das Verhältnis zweier benachbarter Glieder ist. Das $n$-te Glied $s_{n}$ der zu dieser geometrischen Folge gehörigen geometrischen Reihe erhält man nun durch die Bildung der Partialsummen:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}\cdot q^{k}$

Die Partialsummen lassen sich auch direkt folgendermaßen berechnen (Herleitung siehe unten):

$s_{n}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ für $q\neq 1$

und

$s_{n}=(n+1)\cdot a_{0}$ für $q=1$.

Diese Formeln gelten nicht nur, wenn die $\{a_{k}\}_{k=0,1,...}$ reelle Zahlen sind, sondern auch allgemeiner, wenn die Folgenglieder Elemente eines Ringes sind. Auch in letzterem Fall muss $q-1$ invertierbar sein.

Beispiele

Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

$a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dots$

mit a₀=5 und $q$=3. Die zugehörige geometrische Reihe ergibt sich zu

$s_{0}=5=5{\frac {1-3^{1}}{1-3}}$

$s_{1}=5+15=20=5{\frac {1-3^{2}}{1-3}}$

$s_{2}=5+15+45=65=5{\frac {1-3^{3}}{1-3}}$

$s_{3}=5+15+45+135=200=5{\frac {1-3^{4}}{1-3}}$

usw.

Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2.000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5% [d.h. Faktor ist: (100+5)/100 = 1,05]. Wieviel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2.000 · 1,05⁵ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann ein angesparter Betrag von

$2.000\cdot 1,05^{5}+2.000\cdot 1{,}05^{4}+2.000\cdot 1{,}05^{3}+2.000\cdot 1{,}05^{2}+2.000\cdot 1{,}05^{1}$

= $2.000\cdot 1{,}05\cdot (1{,}05^{4}+1{,}05^{3}+1{,}05^{2}+1{,}05^{1}+1{,}05^{0})$

= $2.000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{4}1{,}05^{k}$

= $2.000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}}$

= $2.000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{5}-1}{0{,}05}}$

= $11.603{,}80\,$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit auf 11.603,80 € erhöht.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2.000 € eingezahlt sondern gleich von Beginn an die ganzen 10.000 € über 5 Jahre bei 5% Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

$10.000\cdot 1,05^{5}$

= $12.762{,}80\,$

(also ein Gewinn von 2.762,80 €)

Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann. Zu Beispiel:

$0,2{\overline {67}}={\frac {2}{10}}+{\frac {1}{1000}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {67}{100^{k}}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\,{\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}$

$={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\,{\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}$

Konvergenz der unendlichen Reihe

Eine (unendliche) geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl $q$ kleiner als 1 ist. Der Wert der Reihe ergibt sich aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen durch Grenzwertbildung ($n\to \infty$) zu

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{0}\cdot q^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{0}\cdot q^{k}=\lim _{n\to \infty }a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}=a_{0}{\frac {1}{1-q}}$

für $|q|<1\,$.

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von $q$ kleiner als 1 ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}\cdot q^{k}=a_{0}+a_{0}\cdot q+a_{0}\cdot q^{2}+\dots +a_{0}q^{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dots +q^{n})$

Vereinfacht:

$s_{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dots +q^{n})$ (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit $q$ ergibt sich:

$q\cdot s_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dots +q^{n+1})$ (Gleichung 2)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert erhält man:

$s_{n}-q\cdot s_{n}=a_{0}(1-q^{n+1})$

Ausklammern von $s_{n}$:

$s_{n}(1-q)=a_{0}(1-q^{n+1})\$

Teilen durch (1-q):

$s_{n}={{a_{0}(1-q^{n+1})} \over {1-q}}$

Davon wird nun der Grenzwert gebildet:

Für $|q|<1$ geht $q$ mit steigender Potenz gegen 0 und die geometrische Reihe konvergiert. Ist dagegen $|q|\geq 1$ so divergiert sie.

In ersterem Fall ist also

$\lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{0}q^{k}=\lim _{k\to \infty }a_{0}{{(1-q^{k+1})} \over {1-q}}=a_{0}{{(1-0)} \over {1-q}}=a_{0}\cdot {1 \over {1-q}}$

Mithilfe der oben angegebenen Formel und einem Aufleitungstrick kann man auch folgende Reihen geschlossen darstellen, vorausgesetzt natürlich $|q|<1$:

$\sum _{k=0}^{\infty }kq^{k}=q{\frac {d}{dq}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {d}{dq}}{\frac {1}{1-q}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}q^{k}=q{\frac {d}{dq}}q{\frac {d}{dq}}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=q{\frac {d}{dq}}q{\frac {d}{dq}}{\frac {1}{1-q}}=q{\frac {d}{dq}}{\frac {q}{(1-q)^{2}}}={\frac {q(1+q)}{(1-q)^{3}}}$

analog für höhere Potenzen.

Siehe auch

• Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
• Beispiel für praktische Folge einer unendlichen geometrischen Reihe: Wert eines Goldesels
• Geometrische Verteilung
• Arithmetische Reihe

Verallgemeinerungen

• Eine Verallgemeinerung ist die Hypergeometrische Funktion.