Benutzer:Hederich/Folge

Explizite Niederschrift

Zur Niederschrift einer Folge dienen Terme, sie geben die Komponenten der Folge an. In der mathematischen Praxis werden Folgen auf unterschiedlichste Weise geschrieben: Mit unterschiedlichen Klammern, auch ohne Klammern, mit oder ohne Trennsymbolen zwischen den Termen. Es werden auch Trennsymbole verwendet, die Beziehungen zwischen den Komponenten einer Folge wiedergeben. Ist der Indizierungs-Beginn nicht ausdrücklich in der Niederschrift ausgewiesen, so ist er Eins.

Explizite Niederschrift endlicher Folgen

Allgemeine Folge der Länge n (n-Tupel): $(x_{1},\cdots x_{n})$ oder so: $(x_{i})_{i=1,\cdots \,n}$ oder so: $(x_{i})_{i=1}^{n}$ oder so: $x_{1}\;\cdots \,x_{n}$

(n+2)-gliedrige Folge geschachtelter Mengen (n+2-Tupel): $M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \;M_{n}\subset M$

leere Folge (0-Tupel): $\,(\,)$

Explizite Niederschrift unendlicher Folgen

Allgemein zum Beispiel so: $(x_{1},x_{2}\cdots )$ oder so: $(x_{i})_{i=1,2,\cdots }$ oder so: $(x_{i})_{i=1}^{\infty }$ oder so: $x_{1},x_{2},\cdots$

In der Praxis haben sich drei Formen zur expliziten Niederschrift unendlicher Folgen bewährt.

Bestimmung der Komponenten durch Anfangs-Terme

Oft genügt es die Terme für die ersten Komponenten einer unendlichen Folge anzugeben. Diese lassen die weiteren Komponenten erkennen:

Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .

Alternierende Folge der Funktionen

\,\sin

und

\,\cos

:

\sin ,\cos ,\sin ,\cos ,\sin ,\cos ,\cdots

Folge von Mengen:

\emptyset \;\in \;\{\emptyset ,\{x_{1}\}\}\;\in \;\{\{\emptyset ,\{x_{1}\}\},\{x_{2}\}\}\;\in \;\{\{\{\emptyset ,\{x_{1}\}\},\{x_{2}\}\},\{x_{3}\}\}\;\in \;\cdots

Bestimmung der Komponenten durch Angabe einer Funktion

Vielfach sind die Komponenten einer unendlichen Folge von einer Funktion bestimmt, die ein ganzzahliges Argument für den Index hat:

4. Folge, bestimmt durch die Funktion $\,f(x,y,n):=\ln(x^{n}+y^{n})$ :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \langle f(x,y,i)\rangle_{i>0}} für x=2, y=1 lauten die ersten Terme dieser Folge: 1,09...; 1,60...; 2,19...; 2,83...; 3.49...

5. Folge, bestimmt durch die Funktion Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \,D(h,n):=h^{(n)}} - $\,(h^{(n)}$ bezeichnet die n-te Ableitung von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \,h)} :

\langle D(f,i)\rangle _{i=0}^{\infty }

diese Folge ist dieselbe wie die Folge 2.

6. Folge, bestimmt durch die Funktion $\,\Pi (n):=$ n-te Primzahl:

[\Pi (i)]_{i=0}^{\infty }

diese Folge ist dieselbe wie die Folge 3.

C. Bestimmung der Komponenten durch Rekursion

Hier werden zunächst Terme für die ersten Komponenten der Folge angegeben. Weiteren Komponenten werden von Termen angegeben, die sich auf vorangehende Komponenten beziehen:
7. Tupel^[1]-Folge:

[M_{i}]_{i=0}^{\infty }\;;\;M_{0}\!:=\{\}\;;\;M_{i,(i>0)}\!:=\{M_{i-1},\{x_{i}\}\}

8. Ableitungs-Folge der Funktion $\,f$ :

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle (f_i)_{i=0}^\infty\;;\; f_0\!:=f\;;\; f_{i,(i>0)}\!:= f_{i-1}^'} diese Folge ist dieselbe wie die Folgen 2 und 5.

9. Folge der Primzahlen: