Vektoranalysis

Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren in 2 oder mehr Dimensionen beschäftigt. Es besteht aus einem Satz von Formeln und Problemlösungstechniken, die für Ingenieurwesen und Physik sehr nützlich sind.

Wir betrachten Vektorfelder, welche jedem Punkt dieses Raumes einen Vektor zuordnen, und Skalarfelder, welche jedem Punkt dieses Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools zum Beispiel ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir den Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in diesem Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt ordnen wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.

Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung von Bedeutung (dabei ist ∇ der Ableitungsoperator):

• Gradient eines Skalarfeldes: Gibt die Richtung und Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes ist selbst ein Vektorfeld.

$\nabla \varphi ={\begin{pmatrix}\partial \varphi /\partial x\\\partial \varphi /\partial y\\\partial \varphi /\partial z\end{pmatrix}}$

• Rotation eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren.

$\operatorname {rot} {\vec {F}}:=\nabla \times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\partial F_{z}/\partial y}-{\partial F_{y}/\partial z}\\{\partial F_{x}/\partial z}-{\partial F_{z}/\partial x}\\{\partial F_{y}/\partial x}-{\partial F_{x}/\partial y}\end{pmatrix}}$

• Divergenz eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, zu Punkten hin oder von Punkten weg zu fließen; die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

$\operatorname {div} {\vec {F}}:=\nabla {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter mit Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen, einer Theorie, die die Vektoranalysis umfasst.

Siehe auch: Differentialoperator

Weblinks

• Wikibooks: Vektoranalysis