Cauchyscher Integralsatz

Der Cauchysche Integralsatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe Funktionen (hier: auf der komplexen Zahlenebene). Im Kern besagt er, dass zwei, die selben Punkte verbindenden Wege, das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist.

Sei eine Funktion $f(z)$ holomorph in einer offenen Kreisscheibe (Teilmenge der komplexen Zahlen), dann gilt für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in dieser Kreisscheibe

$\int _{\gamma }^{}f(z)\,\mathrm {d} z=0.$

Für die Gültigkeit der Formel ist wesentlich, dass f überall auf der Kreisscheibe holomorph ist, d.h. dass die Funktion zum Beispiel keine Polstellen aufweist. Ist dies nicht der Fall, so benötigt man zur Berechnung des obigen Integrales die Cauchysche Integralformel (eine Polstelle) oder allgemein den Residuensatz.

Die Cauchysche Integralformel ist eines der zentralen Ergebnisse der Funktionentheorie. Sie besagt, dass die Werte einer holomorphen Funktion f bereits durch ihre Werte auf einer geschlossenen Kurve $\gamma$ bestimmt sind. (In der älteren Literatur - z.B. Lehrbücher um 1970 herum - findet man den Begriff analytisch anstatt holomorph. Dies erklärt sich dadurch, dass holomorphe Funktionen sich lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickeln lassen.)

Für ihren Beweis (und das Verständnis) wird die Definition der Windungszahl $n(\gamma ,a)$ benötigt:

$n(\gamma ,a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}.$

Man beschränkt sich dabei auf eine Kreisscheibe, in der eine geschlossene stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ gegeben ist, dabei sei a ein Punkt nicht auf $\gamma$. Die Voraussetzungen an die Kurve implizieren die Existenz des Integrals.

Sei f(z) holomorph in einer offenen Kreisscheibe, dann gilt für jede geschlossene Kurve $\gamma$ in dieser Kreisscheibe (die stückweise differenzierbar ist) und für jeden Punkt a, der nicht auf dieser Kurve liegt, die Cauchysche Integralformel:

$n(\gamma ,a)\cdot f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }^{}{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z.$

Zum Beweis wird der Cauchysche Integralsatz verwendet.

Die Cauchysche Integralformel beweist man durch Anwendung des Integralsatzes auf die Funktion

$F(z):={\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}$

und man verwendet folgenden Hilfssatz (Lemma):

Die punktweise differenzierbare geschlossene Kurve $\gamma$ enthalte nicht den Punkt a, dann ist der Wert des Integrals

$\int _{\gamma }^{}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}$

ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi i$.