Graßmann-Algebra

Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums V ist eine assoziative, antikommutative Algebra mit Einselement. Sie ist eine Unteralgebra der Tensoralgebra und wird durch $\Lambda V$ darsgestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Dieses Produkt ist eine Verallgemeinerung des Kreuzproduktes in höhere Dimensionen. Anwendung findet dieser Kalkül in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet.

Formale Definition

Äußere Potenz

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ mit der Charakteristik 0. Weiter sei $T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}$ eine Teilmenge der Tensoralgebra und das beidseitige Ideal $J^{k}(V)$ definiert durch $J^{k}(V):=\left\{v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}\right\}$ für mindestens ein Paar $(i,j)$ mit $i=j$.

Die äußere Potenz ist dann definiert als der Quotientenraum

$\Lambda ^{k}(V)=T^{k}(V)/J^{k}(V)$.

Äußere Algebra

Die äußere Algebra über einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ ist analog definiert als der Quotientenraum der Tensoralgebra mit dem beidseitigen Ideal $J(V)=\bigoplus _{k=0}^{n}J^{k}(V)$, welches also alle Tensoren mit mindentenz zwei gleichen Vektoren enthällt.

Es gilt also

$\Lambda (V):=T(V)/J(V)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}(V)=\bigoplus \nolimits _{k=0}^{n}T^{k}(V)/J^{k}(V)$.

Analog kann definiert man die äußere Algebra über Moduln.

Beispiele

• Eine Bilinearform $a:V\times V\rightarrow K$ definiert durch $x,y\mapsto a(x,y)$ mit $a(x,y)=-a(y,x)$ ist ein Element von $\Lambda (V)$.
• Fasst man die Determinante als Funktion von n Vektoren mit Dimension n nach $\mathbb {R}$ auf, so ist diese ebenfalls ein Element von $\Lambda (V)$. Wie bekannt ist ändert sich ja beim Vertauschen zweier Spalten das Vorzeichen der Determinante.

Universelle Eigenschaften

• Sind $V,W$ zwei Vektorräume (bzw. Moduln), so entsprechen Homomorphismen

${\bigwedge \!}^{k}\,V\to W$

den alternierenden $k$-multilinearen Abbildungen

$V\times \ldots \times V\to W.$

• Ist $V$ ein Vektorraum (bzw. Modul) und $A$ eine assoziative Algebra, so gibt es eine Bijektion zwischen

• den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln) $f\colon V\to A$, so dass $f(v)^{2}=0$ für alle $v\in V$ gilt

und

• den Algebrenhomomorphismen $\bigwedge V\to A$.

Äußeres Produkt

Das äußere Produkt macht die äußere Algebra ja erst zu einer richtigen Algebra. In der Analysis wird dieses Produkt oftmals auch Dachprodukt genannt, weil das Operatorsymbol ein Dach $\wedge$ ist. Andere Bücher nennen diese Verknüpfung auch Keilprodukt.

Um das äußere Produkt zu definieren, braucht man zunächst eine weitere Abbildung, die Antisymmetriesierungsabbildung, welche die Multiplikation der äußeren Algebra auf die Multiplikation der Tensoralgebra zurückführt. Wir bezeichnen diese Abbildung mit $A_{k}$. Sei also $A_{k}:T^{k}(V)\rightarrow T^{k}(V)$ definiert durch

$e_{1}\otimes \ldots \otimes e_{k}\mapsto {\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}sgn(\sigma )(e_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes e_{\sigma (s)}).$

Dabei ist $S_{k}$ die symmetrische Gruppe auf der Menge $\{1,\ldots ,k\}$ und $sgn(\sigma )$ das Vorzeichen der Permutation $\sigma \in S_{k}$.

Da die äußere Algebra $\Lambda (V)$ ja nach Definition eine Untermenge der Tensoralgebra $T(V)$ beziehungsweise $\Lambda ^{k}(V)\subset T^{k}(V)$ ist, kann man nun das äußere Produkt von $a\in \Lambda ^{k}(V),b\in \Lambda ^{l}(V)$ definieren durch

$a\wedge b={\frac {(k+l)!}{k!l!}}A_{n}(a\otimes b).$

Diese Multiplikation ist assoziativ, graduiert-kommutativ und bilinear d.h. für $a\in \Lambda ^{k}(V),b\in \Lambda ^{l}(V),c\in \Lambda ^{m}(V)$ und $\lambda \in K$ gilt (genauer für ihre Bilder in der Algebra):

• $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ (assoziativ),
• $a\wedge b=(-1)^{kl}b\wedge a$ (graduiert-kommutativ),
• $(a+\lambda b)\wedge c=(a\wedge c)+\lambda (b\wedge c)$ (bilinear) und
• $a\wedge a=0.$

Diese Eigenschaften lassen sich leicht über die Antisymmetriesierungsabbildung nachrechnen.

Beziehung zum Kreuzprodukt

Wir wählen die kanonische Basis $e_{1},e_{2},e_{3}$ des $\mathbb {R} ^{3}$. Weiter wählen wir zwei Elemente $\alpha =a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}$ und $\beta =b_{1}e_{1}+b_{2}e_{2}+b_{3}e_{3}\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{3})$ aus der äußeren Algebra (bzw. äußeren Potenz) des reellen Vektorraums.

$*$ bezeichne den Hodge-Operator. Für das äußere Produkt von $\alpha ,\beta$ gilt mithilfe des Distributivgesetzes

${\begin{array}{rl}*(\alpha \wedge \beta )=&*((a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3})\wedge (b_{1}e_{1}+b_{2}e_{2}+b_{3}e_{3}))\\[0.5em]=&*((a_{2}e_{2}\wedge b_{1}e_{1})+(a_{3}e_{3}\wedge b_{1}e_{1})+(a_{1}e_{1}\wedge b_{2}e_{2})\\&+(a_{3}e_{3}\wedge b_{2}e_{2})+(a_{1}e_{1}\wedge b_{3}e_{3})+(a_{2}b_{2}\wedge b_{3}e_{3}))\\[0.5em]=&*((a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(e_{1}\wedge e_{2})+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(e_{2}\wedge e_{3})+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})(e_{3}\wedge e_{1}))\end{array}}$

Der Hodge-Operator ordnet im dreidimensionalen Raum dem Produkt der Basisvektoren $e_{1}\wedge e_{2}$ den Vektor $e_{3}$ zu. Durch zyklisches Vertauschen der Indizes ergeben sich die Zuordnungen der anderen Basisvektoren. Damit ergibt sich das Kreuzprodukt im dreidimensionalen reellen Raum. Also kann man $*(X\wedge Y)$ auf der äußeren Algebra als Verallgemeinerung des Kreuzproduktes verstehen. Mit Hilfe dieser Verallgemeinerung lässt sich ebenfalls, die aus der Vektoranalysis bekannte Funktion, $rot$ (Rotation) ins n-dimensionale Verallgemeinern.

Graduierung

Die äußere Algebra $\Lambda V$ kann in Form einer direkten Summe in Bestandteile verschiedenen Grades zerlegt werden. Der Teilvektorraum $\Lambda ^{m}V$ zum Grad m wird dabei von allen äußeren Produkten mit m Faktoren aus (der Einbettung von) V erzeugt. Hat V die Dimension n, so gilt

$\mathop {\mathrm {dim} } \Lambda ^{m}V={\binom {n}{m}}$ und

$\Lambda V=\bigoplus _{m=0}^{n}\Lambda ^{m}V$.

Die Gesamtdimension der Algebra ist 2ⁿ.

In der Physik heißen die Elemente von ${\bigwedge }^{m}V$ m-Vektoren. 0-Vektoren sind Skalare, d.h. Elemente des Grundkörpers, 2-Vektoren werden häufig Bivektoren genannt, n-Vektoren werden auch als Pseudoskalare bezeichnet.

Basis und Dimension

Sei $V$ wieder ein $n$ dimensionaler Vektorraum mit der Basis $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Die äußere Algebra $\Lambda (V)$ über dem Vektorraum $V$ besitzt wieder eine eine Vektorraumstruktur. Also besitzt dieser Raum auch eine Basis. Man kann die äußere Algebra, wie man oben in der Definition sieht, in verschiedene Grade zerlegen. Jeder dieser Garde ist natürlich ebenfalls ein Vektorraum und es gilt

$\Lambda ^{k}(V)=\mathrm {span} (e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})$

mit $i_{1}<\ldots <i_{k}$. Die Dimension eines Grades ist $\dim(\Lambda ^{k}(V))={\binom {n}{k}}$. Die Basis der äußeren Algebra erhält man dann eben durch Vereinigung der Basen aller Grade. Für die Dimension gilt dann $\dim(\Lambda (V))=\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}=2^{n}.$

Beispiel

Man wähle zum Vektorraum $\mathbb {R} ^{4}$ die kanonische Basis. Der 3. Grad der äußeren Algebra $\Lambda (\mathbb {R} ^{4})$ wird aufgespannt durch:

$\Lambda ^{3}(\mathbb {R} ^{4})=\mathrm {span} (\{(e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{3}),(e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{4}),(e_{1}\wedge e_{3}\wedge e_{4}),(e_{2}\wedge e_{3}\wedge e_{4})\})$

Wie man durch Abzählen sofort sieht, ist $\dim(\Lambda ^{3}(\mathbb {R} ^{4}))=4$.

Skalarprodukt

Hat der Vektorraum V ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als orthogonal definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren, seien $a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m}$ und $b_{1}\wedge \dots \wedge b_{m}$ reine Produkte in $\Lambda ^{m}V$. Ihnen kann die Gramsche Matrix der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:

$\langle a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m},\,b_{1}\wedge \dots \wedge b_{m}\rangle :=\det {\begin{pmatrix}\langle a_{1},b_{1}\rangle &\dots &\langle a_{1},b_{m}\rangle \\\vdots &&\vdots \\\langle a_{m},b_{1}\rangle &\dots &\langle a_{m},b_{m}\rangle \end{pmatrix}}$

Ist V der n-dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu $a_{1}\wedge \dots \wedge a_{m}$ die Matrix $A=(a_{1},\dots ,a_{m})$ definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen Untermatrizen $A_{\alpha }$ betrachten. Dabei ist $\alpha$ ein Multiindex aus

$I_{m}:=\{\alpha \in \mathbb {N} ^{m}:\;1\leq \alpha (1)<\dots <\alpha (m)\leq n\}$

und $A_{\alpha }$ besteht aus genau diesen Zeilen von A.

Es gilt folgende Identität, im Falle m=2 und A=B auch "Flächenpythagoras" genannt:

$\det(\;(\langle a_{i},b_{k}\rangle )\;)=\det(A^{t}B)=\sum _{\alpha \in I_{m}}\det A_{\alpha }\cdot \det B_{\alpha }$

Differentialformen

Das Hauptanwendungsgebiet der äußeren Algebra liegt in der Differentialgeometrie. Sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. So wählt man den Kotangentialraum dieser Mannigfaltigkeit als zugrundeliegenden Vektorraum und bildet die äußere Algebra. Dieser neue Vektorraum ist der Raum der Differentialformen. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe Karten-unabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

Hodge-Operator

Sei $V$ (wie oben) ein Vektorraum und $\Lambda ^{n}V$ die äußere Algebra von $V$. Sei $(e_{1},\dots ,e_{n})$ eine orientierte Basis von $V$. Der Hodge-Operator oder Hodge-Stern-Operator ist ein natürlicher Isomorphismus $*:\Lambda ^{k}V\rightarrow \Lambda ^{n-k}V$ mit $\omega \mapsto *\omega$. Der Hodge-Operator ordnet also jedem $\omega \in \Lambda ^{k}V$ auf eindeutige Weise ein $*\omega \in \Lambda ^{n-k}V$ zu. Für dieses gilt

$\forall \eta \in \Lambda ^{k}V:\;\eta \wedge *\omega =\langle \eta ,\omega \rangle \cdot e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n}.$

Literatur

• Kowalsky, H.J. und Michler, G.: Lineare Algebra
• Abraham, R., Marsden, J.E. and Ratiu T.: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications