Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es handelt sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments entsteht. Letzteres ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Ergebnisse besitzt (z.B. „Erfolg“ und „Misserfolg“). Führt man ein solches Experiment sehr oft durch und ist die Erfolgswahrscheinlichkeit gering, so ist die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Poisson-Verteilung wird deshalb manchmal als die Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet (siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen). Zufallsvariablen mit einer Poisson-Verteilung genügen dem Poisson-Prozess.

Die mit $P_{\lambda }$ bezeichnete Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch den Ereignisrate genannten Parameter $\lambda$ bestimmt, der gleichzeitig Erwartungswert und Varianz der Verteilung ist. Sie ordnet den natürlichen Zahlen $k=0,1,2,\ldots$ die Wahrscheinlichkeiten wie folgt zu:

$P_{\lambda }(X=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }$

wobei

• $\mathrm {e}$ die Eulersche Zahl (Exponentialfunktion)
• $\lambda$ eine reelle positive Zahl
• $k!$ die Fakultät von $k$

bezeichnen.

Die Poisson-Verteilung ist zugleich ein Spezialfall der Panjer-Verteilung.

Siméon Denis Poisson veröffentlichte 1837 diese Verteilung zusammen mit seiner Wahrscheinlichkeitstheorie in dem Werk „Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et en matière civile“ („Untersuchungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen“).

Erweiterungen der Poisson-Verteilung wie die Verallgemeinerte Poisson-Verteilung und die Gemischte Poisson-Verteilung werden vor allem im Bereich der Versicherungsmathematik angewandt.

Herleitung

Mit der mittleren Anzahl der eintretenden Ereignisse pro Zeiteinheit $\lambda$ und der Wahrscheinlichkeit $P_{n}(T)$, dass im Zeitraum $T$ insgesamt $n$ Ereignisse eintreten, gibt $\lambda \mathrm {d} t$ die Wahrscheinlichkeit an, dass in $\mathrm {d} t$ ein Ereignis stattgefunden hat, und $1-\lambda \mathrm {d} t$ die Wahrscheinlichkeit, dass in $\mathrm {d} t$ kein Ereignis stattgefunden hat. Daraus resultieren die Beziehungen

$P_{0}(T+\mathrm {d} t)=P_{0}(T)(1-\lambda \mathrm {d} t)$

$P_{n}(T+\mathrm {d} t)=P_{n}(T)(1-\lambda \mathrm {d} t)+P_{n-1}(T)\lambda \mathrm {d} t$.

Durch Bilden der Differenzenquotienten entsteht ein rekursives System von Differentialgleichungen:

$P_{0}(T)'=-\lambda P_{0}(T)$

$P_{n}(T)'=-\lambda (P_{n}(T)-P_{n-1}(T))$.

Dieses System lässt sich durch Verwenden einer generierenden Funktion lösen. Dabei werden die $P_{i}(T)$ als Koeffizienten einer Potenzreihe eingesetzt, durch Koeffizentenvergleich lässt sich ein geschlossener Ausdruck für die $P_{i}(T)$ gewinnen

$P_{n}(T)={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda T}(\lambda T)^{n}}{n!}}$.

Eigenschaften

• Die Poisson-Verteilung $P_{\lambda }$ wird durch den Parameter $\lambda$ vollständig charakterisiert.
• Die Poisson-Verteilung ist stationär, d. h. nicht von der Zeit abhängig.
• In einem Poisson-Prozess ist die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt Poisson-verteilt, die zufällige Zeit bis zum $n$-ten Ereignis Erlang-verteilt. Wichtig ist der Spezialfall $n=1$, der zur Exponentialverteilung führt. Sie beschreibt die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis (sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen) eines Poissonprozesses.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion $F(x)$ der Poisson-Verteilung lautet

$F_{\lambda }(n)=\sum _{k=0}^{n}P_{\lambda }(k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{n}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$.

Erwartungswert, Varianz, Moment

$\lambda$ ist zugleich Erwartungswert, Varianz und auch 3. zentriertes Moment $\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{3}\right)$, denn

Erwartungswert

$\operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}}=\lambda$

Varianz

${\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{k=0}^{\infty }(k-\lambda )^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\sum _{k=0}^{\infty }(k^{2}-2k\lambda +\lambda ^{2}){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }-2\lambda ^{2}+\lambda ^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }(k(k-1)+k){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1){\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda ^{2}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda \end{aligned}}$

Alternative Berechnung von Erwartungswert und Varianz

Seien $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim B\left(1,{\frac {\lambda }{n}}\right)$ unabhängige binomialverteilte Zufallsvariablen und sei $X:=X_{1}+\dotsb +X_{n}$. Für $n\to \infty$ gilt $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$.

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \to \lambda \\\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})\\&=\underbrace {{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)+\dotsb +{\frac {\lambda }{n}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)} _{n\,\mathrm {mal} }=\lambda \left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)\to \lambda \end{aligned}}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$.

Schiefe und Wölbung

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$.

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\beta _{2}={\frac {1}{\lambda }}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)=\sum _{k=0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{iks}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(\lambda \,\mathrm {e} ^{is})^{k}}{k!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\mathrm {e} ^{\lambda \,\mathrm {e} ^{is}}=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{is}-1)}$.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

$g_{X}(s)=\mathrm {e} ^{\lambda (s-1)}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Poisson-Verteilung ist

$m_{X}(s)=\mathrm {e} ^{\lambda (\mathrm {e} ^{s}-1)}$.

Reproduktivität

Die Poisson-Verteilung ist reproduktiv, d.h. die Summe $X_{1}+X_{2}$ zweier stochastisch unabhängiger Poisson-verteilter Zufallsvariablen $X_{1}$ und $X_{2}$ mit den Parametern $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$ ist wieder Poisson-verteilt mit dem Parameter $\lambda _{1}+\lambda _{2}$. Denn es gilt:

${\begin{aligned}P(X_{1}+X_{2}=n)&=\sum _{k=0}^{n}P(X_{1}=k)\,P(X_{2}=n-k)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {\lambda _{1}^{k}}{k!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda _{1}}\,{\frac {\lambda _{2}^{n-k}}{(n-k)!}}\,\mathrm {e} ^{-\lambda _{2}}\\&={\frac {1}{n!}}\,\mathrm {e} ^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\,\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\lambda _{1}^{k}\,\lambda _{2}^{n-k}={\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{n}}{n!}}\,\mathrm {e} ^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}\end{aligned}}$

Dies lässt sich auch auf mehrere stochastisch unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen $X_{i}\sim {\textrm {P}}(\lambda _{i})\,$ verallgemeinen. Hier ist $X_{1}+\dotsb +X_{n}\sim {\textrm {P}}(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n})\,$.

Nach einem Satz des sowjetischen Mathematiker D.A.Raikow gilt auch die Umkehrung: Ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable $X$ die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen $X_{1}$ und $X_{2}$, dann sind die Summanden $X_{1}$ und $X_{2}$ ebenfalls Poisson-verteilt. Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in Poisson-verteilte unabhängige Summanden zerlegen. Dieser Satz ist ein Analogon zu dem Satz von Cramér für die Normalverteilung.

Die Poisson-Verteilung ist unendlich teilbar.

Symmetrie

Die Poisson-Verteilung $P_{\lambda }$ hat für kleine Mittelwerte $\lambda$ eine stark asymmetrische Gestalt. Für größer werdende Mittelwerte wird $P_{\lambda }$ symmetrischer und lässt sich für $\lambda >30$ in guter Näherung durch die Gauß-Verteilung darstellen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung lässt sich aus der Binomialverteilung $\operatorname {B} (n;p)$ herleiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierten Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: $n\rightarrow \infty$ und $p\rightarrow 0$ unter der Nebenbedingung, dass das Produkt $np=\lambda$ konstant ist. $\lambda$ ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert.

Mit $p={\frac {\lambda }{n}}$ ist der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle $k$ der Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }P(X=k)$	$=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!\,k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}$
	$=\lim _{n\to \infty }\left({{(n-k+1)\cdots (n-2)(n-1)n} \over {n^{k}}}\right)\left({{\lambda }^{k} \over k!}\right)\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}$
	$={\lambda ^{k} \over k!}\cdot \lim _{n\to \infty }{\begin{matrix}\\\underbrace {\left({n \over n}\cdot {n-1 \over n}\cdot {n-2 \over n}\cdots {n-k+1 \over n}\right)} \\{\to 1}\end{matrix}}{\begin{matrix}\\\cdot \\\quad \end{matrix}}{\begin{matrix}\\\underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}} \\\to {\mathrm {e} ^{-\lambda }}\end{matrix}}{\begin{matrix}\\\underbrace {\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}} \\{\to 1}\end{matrix}}$
	$={\lambda ^{k}\mathrm {e} ^{-\lambda } \over k!}.$

Beziehung zur Normalverteilung

Für große $\lambda$ kann die Poisson-Verteilung durch die Gaußsche Normalverteilung angenähert werden:

$P_{\lambda }(X=k)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right)$

Beziehung zur Erlang-Verteilung

In einem Poisson-Prozess genügt die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem festgelegten Zeitpunkt der Poisson-Verteilung $\operatorname {Poi} (\lambda ,n)$. Die zufällige Zeit bis zum Eintreffen des $n$-ten Ereignis hingegen ist $\operatorname {Erl} (\lambda ,n)$ Erlang-verteilt. Im Fall $n=1$ geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über $\operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )$. Man sagt auch, dass die Poisson-Verteilung und die Erlang-Verteilung zueinander konjugierte Verteilungen sind.

Beziehung zur Exponentialverteilung

Die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit dem Parameter $\lambda$ ist $\operatorname {Exp} (\lambda )$ exponentialverteilt.

Anwendung

Die Poisson-Verteilung ist eine typische Verteilung für die Zahl von Phänomenen, die innerhalb einer Einheit auftreten.

So wird sie häufig dazu benutzt, zeitliche Ereignisse zu beschreiben. Gegeben sind ein zufälliges Ereignis, das durchschnittlich einmal in einem zeitlichen Abstand $t_{1}$ stattfindet, sowie ein zweiter Zeitraum $t_{2}$, auf den dieses Ereignis bezogen werden soll.

Die Poissonverteilung $P_{\lambda }(n)$ mit $\lambda =t_{2}*1/t_{1}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass im Zeitraum $t_{2}$ genau $n$ Ereignisse stattfinden. Anders ausgedrückt ist $\lambda$ die mittlere Auftretenshäufigkeit eines Ereignisses.

Beispiel 1

Ein Kaufhaus wird an einem Samstag durchschnittlich alle 10 Sekunden ($t_{1}$) von einem Kunden betreten. Werden nun im Takt von einer Minute bzw. 60 Sekunden die Personen gezählt, so würde man im Mittel 6 Personen erwarten (λ = 6 Personen/Minute), die das Kaufhaus betreten. $P_{6}(n)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in der nächsten Minute ($t_{2}$) genau $n$ Kunden das Kaufhaus betreten.

Poisson-Verteilung mit λ=6.

P6(n)
n	Wahrscheinlichkeit in %	Summe in %
0	0,25	0,25
1	1,49	1,74
2	4,46	6,20
3	8,92	15,12
4	13,39	28,51
5	16,06	44,57
6	16,06	60,63
7	13,77	74,40
8	10,33	84,72
9	6,88	91,61
10	4,13	95,74
11	2,25	97,99
12	1,13	99,12
13	0,52	99,64
14	0,22	99,86
15	0,09	99,95
16	0,0003342208	99,95

Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 4,5 % betreten genau 2 Personen in einer Minute das Kaufhaus. Mit einer Wahrscheinlichkeit von fast 92 % treten 0 bis 9 Personen (aufsummiert) ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 9 Personen in einer Minute eintreten, ist folglich 8 % .

Beispiel 2

In der Natur folgt zum Beispiel die zeitliche Abfolge radioaktiver Zerfälle einzelner Atome der Poisson-Statistik.

Beispiel 3

Die Blitzhäufigkeit in Deutschland beträgt 10 Einschläge pro km² = 0,1 Einschläge pro ha und Jahr. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Parzelle von 1 ha zu $n$ Blitzeinschlägen in einem Jahr kommt?

$\lambda =0,1$ Einschläge pro Hektar und Jahr.

$P_{0,1}(n=0)$ (kein Einschlag im betrachteten Jahr): 90%

$P_{0,1}(n=1)$ (ein Einschlag im betrachteten Jahr): 9%

$P_{0,1}(n=2)$ (zwei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,5%

$P_{0,1}(n=3)$ (drei Einschläge im betrachteten Jahr): 0,02%

Statistisch ist es nicht verwunderlich, wenn ein Blitz innerhalb von 200 Jahren zweimal am gleichen Ort einschlägt, wobei es außerordentlich unwahrscheinlich ist, den Ort voraussagen zu können (Siehe hierzu auch Geburtstagsparadoxon).

Beispiel 4

Wenn das zeitliche Eintreffen seltener Ereignisse einen Poisson-Prozess bildet, folgen die Zeitintervalle zwischen den Ereignissen einer Exponentialverteilung. Ein Anwendungsbeispiel für die Simulation poissonverteilter Zufallszahlen findet sich unter Verteilung von Zufallszahlen.

Beispiel 5

Zufällig auf dem Boden verstreute Reiskörner.

Das Bild rechts zeigt $N=66$ Reiskörner, die zufällig auf $n=49$ Quadrate verteilt wurden. Die Felder enthalten $k=0,\ldots ,5$ Reiskörner. Der Vergleich zwischen Experiment und berechneter Poissonverteilung $P(X=k)$, wobei $\lambda =N/n=66/49=1{,}33$ Reiskörner/Quadrate ist, zeigt eine gute Übereinstimmung:

$k$	gezählt	$P(X=k)\cdot 49$
0	16	13
1	14	17
2	10	11
3	6	5
4	1	2
5	2	0,5

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Feld leer bleibt, ist etwas größer als 25%:

$P(X=0)={\frac {1{,}33^{0}}{0!}}\,\mathrm {e} ^{-1{,}33}\approx 0{,}2645$

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur Poisson-Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt.

Siehe auch

• Zufallsverkehr, Warteschlangentheorie

Literatur

• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3525031149

Weblinks

• Universität Konstanz - Interaktive Animation
• 

  Wikibooks: Poissonverteilung (für Anfänger) – Lern- und Lehrmaterialien
• StatWiki - Herleitung der momenterzeugenden Funktion