Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\frac {1}{s\pi [1+((x-t)/s)^{2}]}}$.

Mit dem Zentrum t=0 und dem Breitenparameter s=1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung

$\mathrm {f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung ist ebenfalls bekannt als Lorentz-Verteilung oder Lorentz-Kurve.

Eigenschaften

Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale divergieren. Jedoch besitzt sie einen Median $\mathrm {{\tilde {x}}=0}$ und einen Modus.

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X₁+X₂+..+X_n)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit endlicher Varianz gilt.

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile (Lévy-) Verteilung mit dem Exponentenparameter α=1.

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, d.h. die Faltung einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{a}$ mit einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite $\Gamma _{b}$ ergibt wieder eine Lorentzkurve mit der Halbwertsbreite $\Gamma _{c}$.

Vorkommen

Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Die Cauchy-Verteilung ist eine Students t-Verteilung mit genau einem Freiheitsgrad.

Außerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Cauchy-Verteilung auch als Lorentz-Verteilung bekannt.

Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Literatur

• W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications