Euklidischer Ring

Euklidischer Ring ist ein Fachbegriff aus der Mathematik.

Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring $R$ (Integritätsbereich) heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung $g:R\backslash \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, so dass es für zwei Elemente $x,y\in R$ mit $y\neq 0$ Elemente $q,r\in R$ gibt mit $x=qy+r$, wobei entweder $r=0$ oder $g(r)<g(y)$ ist. Die Abbildung $g$ heißt dabei euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag).

Vereinfacht gesagt ermöglicht ein euklidischer Ring also eine Division mit Rest und dadurch einen euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.

Die obenstehende Definition ist äquivalent zur folgenden Definition, die ebenfalls häufig verwendet wird:

Definition2:
Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring, falls eine Abbildung $g:R\to \mathbb {N}$ existiert, so dass $g(0)=0$ gilt und für alle $y\in R\backslash \{0\}$, $x\in R$ Elemente $q,r\in R$ existieren, so dass $x=qy+r$ gilt und $g(r)<g(y)$ ist.

Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale euklidische Norm besitzt, weiter existiert ein Algorithmus zur iterativen Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem euklidischen Ring; das Finden einer geschlossenen Form für den minimalen euklidischen Betrag ist jedoch im allgemeinen sehr aufwändig.

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. Beweisidee: Ist a ein Element des Ideals I mit minimaler euklidischer Norm, dann ist I = (a) ein Hauptideal.

Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.

Beispiele

• Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist $g:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$, $x\mapsto |x|$. Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.

• Jeder Körper K ist ein euklidischer Ring, beispielsweise mit euklidischem Betrag $a\mapsto \delta _{0,a}$, wobei $\delta$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Dieser Betrag ist trivialerweise auch minimal.

• Ein beliebiger Polynomring $K[X]$ über einem Körper K, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.

• Der Ring $\mathbb {Z} [i]$ der ganzen Gaußschen Zahlen mit $g:\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {N}$ erklärt durch $(a+bi)\mapsto a^{2}+b^{2}$.

• Dagegen ist z.B. der Polynomring $\mathbb {Z} [X]$ kein euklidischer Ring, da das Ideal $(X,2)$ kein Hauptideal ist.

• Auch der Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ ist nicht euklidisch, da $2+2{\sqrt {-3}}$ und 4 keinen ggT haben (zwei "maximale gemeinsame Teiler" sind $1+{\sqrt {-3}}$ und 2, die aber teilerfremd sind).