Kern (Algebra)

Ist $h:A\rightarrow B$ ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge $ker(h)$ aller Elemente von $A$, die auf das neutrale Element von $B$ abgebildet werden, Kern von $h$ genannt.

Anders ausgedrückt: Sei $h$ eine lineare Abbildung von $V$ nach $W$, dann heißt die Menge $ker(h):=\{v\in V\mid h(v)=0\in W\}$

Der Kern von $h$ ist ein Normalteiler von $A$.

Beispiel

Häufig ist $h$ hierbei eine lineare Abbildung in einem Vektorraum, die Gruppe ist dann die gewöhnliche Vektoraddition in diesem Raum. Beispiel:

$h({\vec {x}})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\vec {x}}$

Offensichtlich bildet $h$ hier genau die Vektoren der Form ${\vec {x}}=\lambda {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R}$ auf das neutrale Element ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ ab (und andere nicht). $\lambda {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R}$ ist also der Kern von $h$.