Eljots

Polynomdivision mit dem Horner-Schema

Am folgendem Beispiel

$(x^{5}-4x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-8x+4)\,:\,({x-2})$

wird zunächst die Polynomdivision mit einem linearem Divisor im Horner-Schema dargestellt.

Die Polynomdivision wird üblicherweise in einer schriftlichen Form durchgeführt.

${\begin{matrix}{}&1x^{5}&-4x^{4}&+4x^{3}&+3x^{2}&-8x&+4&:&({1x-2})={1x^{4}-2x^{3}+0x^{2}+3x-2}\\-(&{\underline {1x^{5}}}&{\underline {-2x^{4}}})\\&&-2x^{4}\\&-(&{\underline {-2x^{4}}}&{\underline {+4x^{3}}})\\&&&0x^{3}\\&&-(&{\underline {0x^{3}}}&{\underline {-0x^{2}}})\\&&&&3x^{2}\\&&&-(&{\underline {3x^{2}}}&{\underline {-6x}})\\&&&&&-2x\\&&&&-(&{\underline {-2x}}&{\underline {+4}})\\&&&&&&0\\\end{matrix}}$

Läßt man nun die Potenzen von $x$ weg, so erhält man folgende Darstellung:

(	1	−4	4	3	−8	4	)	:	( 1	−2 )	=	1	−2	0	3	−2
	−( 1	−2	)
		−2
		−( −2	4	)
			0
			−( 0	0	)
				3
				−( 3	−6	)
					−2
					−( −2	4	)
						0

${\begin{matrix}(&1&-4&4&3&-8&4)&:&({1\;\;\;{-2}})={\begin{matrix}1&-2&0&3&-2\end{matrix}}\\-(&{\underline {1}}&{\underline {-2}})\\&&-2\\&-(&{\underline {-2}}&{\underline {4}})\\&&&0\\&&-(&{\underline {0}}&{\underline {0}})\\&&&&3\\&&&-(&{\underline {3}}&{\underline {-6}})\\&&&&&-2\\&&&&-(&{\underline {-2}}&{\underline {4}})\\&&&&&&0\\\end{matrix}}$

Verdichted man nun dieses Schema auf drei Zeilen und übernimmt den ersten Koeffizienten des Dividenden in die dritte Zeile so erhält man:

(	1	−4	4	3	−8	4	)  :  ( 1  −2 )
−(		−2	4	0	−6	4	)
	1	−2	0	3	−2	0

 ( 1  -4   4   3  -8   4 ) : ( 1  -2 )
-(    -2   4   0  -6   4 )
   ---------------------
   1  -2   0   3  -2   0
   =================

Wie man nun sieht, sind die gelb unterlegten Werte der letzten Zeile die Koeffizienten des Ergebnispolynoms und der letzte (grün hinterlegte) Wert dahinter ist der Divisionsrest (hier Null).

Multiplzeirt man nun das Vorzeichen in die zweite Zeile, so Erfolg die Berechnung nach folgendem Ablauf:

${\,1}$

${\,-4}$

${\,4}$

${\,3}$

${\,-8}$

${\,4}$

${\Bigg \downarrow }$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$\,2$

$\,-4$

$\,0$

$\,6$

$\,-4$

$\nearrow$

$\mid$

$\nearrow$

$\mid$

$\nearrow$

$\mid$

$\nearrow$

$\mid$

$\nearrow$

$\mid$

$\cdot {2}$

${=}$

$\cdot {2}$

${=}$

$\cdot {2}$

${=}$

$\cdot {2}$

${=}$

$\cdot {2}$

${=}$

$\nearrow$

$\downarrow$

$\nearrow$

$\downarrow$

$\nearrow$

$\downarrow$

$\nearrow$

$\downarrow$

$\nearrow$

$\downarrow$

${\,1}$

${\,-2}$

${\,0}$

${\,3}$

${\,-2}$

${\,0}$

Vermerkt man nun noch den vorzeichengedrehten Wert des Absolutglieds des Devisors vor dem Schema, so bekommt man die allgemeine Darstellung des Horner-Schemas:

	1	−4	4	3	−8	4
2)		2	−4	0	6	−4
	1	−2	0	3	−2	0

   1  -4   4   3  -8   4 
2)     2  -4   0   6  -4  
   ---------------------
   1  -2   0   3  -2   0
   =================

Aus dem obigen Beispiel kann man nun in folgende Formel zusammengefaßt werden:

Hat die Disvisionsaufgabe:

$(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}):(x-d)$

als Ergebnis

$e_{n-1}x^{n}+e_{n-2}x^{n-1}+\dots {}+e_{2}x^{2}+e_{1}x^{1}+e_{0},{\mbox{ mit dem Rest }}r$

so bestimmen sich die Koeffizienten nach folgender Vorschrift:

${\begin{matrix}e_{n-1}&=&a_{n}\\e_{k}&=&a_{k+1}-d\cdot e_{k+1},&{\mbox{f}}{\ddot {\mbox{u}}}{\mbox{r }}k=n-2,n-3,\dots {},1,0\\r&=&a_{0}-d\cdot e_{0}\\\end{matrix}}$

Das Horner-Schema stellt sich dann wie folgt da:

	$\,a_{n}$	$\,a_{n-1}$	$\,a_{n-2}$	$\ldots$	$\,a_{2}$	$\,a_{1}$	$\,a_{0}$
${-d\,})$		$-d\,e_{n-1}$	$-d\,e_{n-2}$	$\ldots {}$	$-d\,e_{2}$	$-d\,e_{1}$	$-d\,e_{0}$
	$\,e_{n-1}$	$\,e_{n-2}$	$\,e_{n-3}$	$\ldots$	$\,e_{1}$	$\,e_{o}$	$\,r$

Divisor 2. Grades

Hat die Disvisionsaufgabe:

$(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}):(x^{2}+d_{1}x+d_{0})$

als Ergebnis

$e_{n-1}x^{n}+e_{n-2}x^{n-1}+\dots {}+e_{2}x^{2}+e_{1}x^{1}+e_{0},{\mbox{ mit dem Rest }}r_{1}x+r_{0}$

so bestimmen sich die Koeffizienten nach folgender Vorschrift:

${\begin{matrix}e_{n-2}&=&a_{n}\\e_{n-3}&=&a_{n-1}-d_{1}\,e_{n-2}\\e_{k}&=&a_{k+2}-d_{1}\,e_{k+1}-d_{0}\,e_{k+2}&{\mbox{f}}{\ddot {\mbox{u}}}{\mbox{r }}k=n-4,n-5,\dots {},1,0\\r_{1}&=&a_{1}-d_{1}\,e_{0}-d_{0}\,e_{1}\\r_{0}&=&a_{0}-d_{0}\,e_{0}\\\end{matrix}}$

Das Horner-Schema stellt sich dann wie folgt da:

	$\,a_{n}$	$\,a_{n-1}$	$\,a_{n-2}$	$\,a_{n-3}$	$\ldots$	$\,a_{3}$	$\,a_{2}$	$\,a_{1}$	$\,a_{0}$
${-d_{0}\,})$			$-d_{0}\,e_{n-2}$	$-d\,e_{n-3}$	$\ldots {}$	$-d_{0}\,e_{3}$	$-d_{0}\,e_{2}$	$-d_{0}\,e_{1}$	$-d_{0}\,e_{0}$
${-d_{1}\,})$		$-d_{1}\,e_{n-2}$	$-d_{1}\,e_{n-3}$	$-d_{1}\,e_{n-4}$	$\ldots {}$	$-d_{1}\,e_{2}$	$-d_{1}\,e_{1}$	$-d_{1}\,e_{0}$
	$\,e_{n-2}$	$\,e_{n-3}$	$\,e_{n-4}$	$\,e_{n-5}$	$\ldots$	$\,e_{1}$	$\,e_{0}$	$\,r_{1}$	$\,r_{0}$

Ebene 2 Überschrift

${\begin{matrix}d_{0}&=&1&&&{\mbox{(erste Ziffer) }}\\d_{1}&=&1\cdot 2+1&=&3&{\mbox{(zweite Ziffer) }}\\d_{2}&=&3\cdot 2+0&=&6&{\mbox{(dritte Ziffer) }}\\d_{3}&=&6\cdot 2+1&=&13&{\mbox{(vierte Ziffer) }}\\d_{4}&=&13\cdot 2+0&=&26&{\mbox{(f}}{\ddot {\mbox{u}}}{\mbox{nfte Ziffer)}}\\d_{5}&=&26\cdot 2+1&=&53&{\mbox{(sechste Ziffer) }}\\\mathbf {d} &=&\mathbf {53} &\\\end{matrix}}$