Newtonverfahren

Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren (benannt nach Isaac Newton, auch Newton-Raphsonsche Methode) lassen sich Näherungswerte der Gleichung f(x)=0, d.h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion finden. Dazu führt man mehrfach folgende Iteration durch:

$x_{n+1}:=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Anfangsbedingungen

Es muss anfänglich ein Näherungswert x₀ bekannt sein. Die Funktion f(x) muß in jedem Punkt der Ausgangsmenge differenzierbar sein. Das heißt für f(x) muß dort die Ableitung f'(x) existieren. Weiterhin muß gelten, daß f'(x) stetig invertierbar ist. Das heißt die Funktion von x₀ darf bis zur anzunähernden Nullstelle keine Extrema oder Sattelpunkte besitzen, da dort die Ableitung f'(x) gegen 0 ginge.

Konvergenz

Das Problem beim Newton Verfahren ist, daß es möglicherweise nicht konvergiert. Bei geeigneter Wahl der Startwerte x₀ kann das Newtonsche Verfahren mit quadratischer Konvergenz also mit der Konvergenzordnung 2 konvergieren. Wird das Newtonverfahren beispielsweise zyklisch, tritt keine Konvergenz ein.

Geometrische Deutung

$x_{n+1}$ lässt sich geometrisch als die Nullstelle der Tangente durch den Punkt P($x_{n}$; f($x_{n}$)) deuten:

Anwendungen

Berechnung der Quadratwurzel

Ein Spezialfall des Newtonschen Näherungsverfahrens ist das Babylonische Wurzelziehen, auch bekannt als Heronverfahren:

Wendet man die Iterationsformel auf die Funktion

$f(x)=x^{2}-a=0$ 

an, dann erhält man die für die Lösung ${\sqrt {a}}$ das Näherungsverfahren

$x_{n+1}:={1 \over 2}(x_{n}+{a \over x_{n}})$
Diese Verfahren konvergiert für jeden beliebigen Anfangswert x₀.

Schnittpunkt zweier Funktionen

Auf ähnliche Weise lässt sich auch der x-Wert des Schnittpunktes zweier Funktionen g(x) und f(x) bestimmen:

Da man die beiden Funktionen zur Lösung des Problems gleichsetzt, lässt sich immer durch Umformung folgende Form, auf die das Newtonsche Näherungsverfahren angewendet werden kann, bestimmen:

$f(x)-g(x)=0$

Weblinks

• Facharbeit über das Newtonsche Näherungsverfahren und die Regula Falsi