Differentialform

Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Die Endung "-form" deutet an, dass Differentialformen spezielle Multilinearformen sind. Differentialformen sind ein grundlegenes Konzept der Differentialgeometrie.

Definition

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Differentialform der Ordnung $k$ auf $M$ ist ein Schnitt des Bündels $\bigwedge {}^{k}T^{*}M$, also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine alternierende $k$-lineare Form auf dem Tangentialraum zuordnet.

In einer Karte $(U,\phi )$ hat eine $k$-Form die Form

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

wobei $dx^{1},\ldots ,dx^{n}$ die zur Karte $(U,\phi )$ gehörige Basis des Cotangentialbündels $T^{*}M$ bezeichnet. Die Menge aller $k$-Formen auf $M$, die man mit $\Omega ^{k}(M)$ bezeichnet, bildet einen $\mathbb {R}$-Vektorraum und einen $C^{\infty }(M)$-Modul. Mit

$\Omega (M):=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M)$

bezeichnet man den $C^{\infty }(M)$-Modul aller Differentialformen auf $M$, der mit dem Keilprodukt eine graduierte $\mathbb {R}$-Algebra ist.

Operation auf Differentialformen

Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung $d$ ist eine Abbildung, die eine $k$-Form auf eine $(k+1)$-Form abbildet. Die äußere Ableitung ist nilpotent: $d^{2}=0$. In lokalen Koordinaten sieht das wie folgt aus: Ist

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

eine $k$-Form, so ist

$d\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}da_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\sum _{i,i_{1},\ldots ,i_{k}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$

die äußere Ableitung.

Äußeres Produkt (auch Keilprodukt)

Das äußere Produkt ist punktweise das Keilprodukt von Multilinearformen, ist $\omega \in \Omega ^{k}(M),\eta \in \Omega ^{\ell }(M)$, so ist

$(\omega \wedge \eta )(x):=\omega (x)\wedge \eta (x)$

Damit wird $\Omega (M)$ zu einer graduierten Algebra. Mit der äußeren Ableitung ist das Keilprodukt wie folgt verträglich

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge d\eta$

Siehe auch: Differentielle und integrierte Notation physikalischer Feldgleichungen, Keilprodukt und Graßmann-Algebra, Tensor.