Die Kategorientheorie, oder kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelte; MacLane nennt seine 1945 gemeinsam mit Eilenberg entstandene »General Theory of Natural Equivalences« (in Trans. Amer. Math. Soc., 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.
Die Sprache der Kategorien hat in vielen Bereichen der Mathematik Eingang gefunden. Es ist grundsätzlich möglich, die Mengenlehre, mithin die gesamte restliche Mathematik, in speziellen Kategorien, den Topoi, auszudrücken. Die Kategorientheorie ist ein ähnlich allgemeiner Ansatz wie die universelle Algebra, freilich von ganz anderer Art.
Begriffe
Eine Kategorie ist durch eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) und eine dazugehörige Klasse von Objekten gegeben, die die folgenden Axiome erfüllen; sie heißt klein wenn diese (wer ? die Pfeile ??) (eher selten) Mengen sind. Die Komposition von Morphismen ist im folgenden durch den "Kringel" o dargestellt.
- Zu jedem Pfeil f gibt es zwei Objekte, die Quelle, dom f, und das Ziel, cod f (können zusammenfallen).
- Zu jedem Objekt A gibt es (genau) einen Pfeil id(A). (Identität)
- Zu jedem Paar von Pfeilen f, g mit cod f = dom g gibt es (genau) einen Pfeil h = f o g mit dom h = dom f und cod h = cod g. (Komposition)
- Die Komposition ist assoziativ, d.h., soweit definiert, gilt f o (g o h) = (f o g) o h.
- Die Identitäten sind bezüglich der Komposition neutral: id(dom f) o f = f = f o id(cod f)
Die Morphismen von einer Kategorie K bilden eine Menge, die man Mor(X,Y) oder K(X,Y) notiert. Sind alle Objekte und Morphismen einer Kategorie U auch Objekte bzw. Morphismen der Kategorie K, so nennt man U eine Unterkategorie von K. Gilt für alle Objekte X, Y in U: U(X, Y) = K(X, Y) so heist die Unterkategorie voll. So ist die Kategorie der Abelschen Gruppen eine volle Unterkategorie der Kategorie der Grupppen.
Einen Morphismus von Kategorien nennt man Funktor. Er ordnet also »strukturerhaltend« Objekten und Morphismen der einen solche der anderen Kategorie zu, wobei gilt: F(fo g) = (Ff) o (Fg) woraus F Id X = Id F X folgt. Funktoren behandeln also die Beziehungen zwischen ganz verschiedenen Strukturen genauso wie Beziehungen innerhalb einer Struktur.
Seien S, T Funktoren zwischen den Kategorien K, L: dann nennt man H eine natürliche Transformation von S nach T, wenn es zu jedem X in Ob K einen Morphismus HX in L gibt mit: wenn f ein Morphismus in K(X, Y) ist, dann gilt: Sf in L(SX, SY) und Tf in L(Tx, TY) und HY Sf = Tf HX.
Beispiele und Ergänzungen
Die Axiome für Kategorien sind sehr allgemein, es gibt also sehr viele Beispiele und sie sind keinewegs alle ähnlich. Immerhin kann man eine Reihe von Standardkategorien an den Anfang stellen:
| Notation | Objekte | Morphismen |
|---|---|---|
| Set | Mengen | Abbildungen |
| Top | Topologische Räume | stetige Abbildungen |
| Grp | Gruppen | Gruppenhomomorphismen |
Warnung: Kategorie kommt in der Mathematik noch einmal mit ganz anderer Bedeutung vor, nämlich in der Topologie als Baire-Kategorie
Mathematical Subject Classification (2000): 18-XX (mit homologischer Algebra in 18Gxx)
Siehe auch: Homologische Algebra sowie Kategorie (Allgemeinbegriff) und Kategorie in der Philosophie
Literatur
- MacLane, Saunders: Kategorien : Begriffssprache und mathematische Theorie, Berlin, 1972, vii, 295 pp. -- (Categories for the Working Mathematician <1971, dt.>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
- Borceux, Francis: Handbook of categorical algebra, 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). -- Cambridge, 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3
Weblinks
- http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/18-XX.html Category theory, homological algebra im Mathematical Atlas