Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

Zum Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl $e$ gehen wir davon aus, sie sei rational, somit lässt sich diese als vollständig gekürzter Bruch $e={\frac {p}{q}}$ mit $p,q\in \mathbb {N} \ (q>1)$ darstellen.

Beweis

Wir gehen von der - von Leonhard Euler selbst stammenden - Reihenentwicklung für die eulersche Zahl $e$ aus:

$e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

und multiplizieren diese mit $q!$, womit wir diese neue Reihe erhalten:

${\begin{matrix}\underbrace {q!\cdot e} &=&\\\in \mathbb {N} \end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {q!+{\frac {q!}{1!}}+{\frac {q!}{2!}}+{\frac {q!}{3!}}+\cdots +{\frac {q!}{q!}}} &+&\\N\in \mathbb {N} \end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {{\frac {q!}{(q+1)!}}+{\frac {q!}{(q+2)!}}+\cdots } \quad &(*)&\\0<M<1\end{matrix}}$

Linke Seite

Es ist $q!\cdot e\in \mathbb {N}$, da nach Voraussetzung $p,q\in \mathbb {N}$ und somit $q!\cdot e=q!\cdot {\frac {p}{q}}=(q-1)!\cdot p\in \mathbb {N}$.

Rechte Seite, erste Teilsumme

Die Glieder $q!$ bis ${\frac {q!}{q!}}=1$ auf der rechten Seite der Gleichung $(*)$ sind ebenfalls alle natürlich, da alle Nenner $0!$ bis $q!$ Teiler des Zählers $q!$ sind.

Rechte Seite, zweite Teilsumme

Die Summe aller Glieder, vom Glied ${\frac {q!}{(q+1)!}}$ ist grösser 0, da alle Zähler von Null verschieden und positiv sind. Und zudem kleiner 1, wie folgende Überlegung zeigt:

Das erste Glied ist ${\frac {q!}{(q+1)!}}={\frac {1}{q+1}}<{\frac {1}{2}}$, da $q>1$. Das zweite Glied ${\frac {q!}{(q+2)!}}={\frac {1}{(q+1)(q+2)}}<{\frac {1}{4}}$, das dritte Glied ist $<{\frac {1}{8}}$, etc.

Diese unendliche Reihe ist eine sog. geometrische Reihe und konvergiert:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=1$.

Widerspruch

Der Ausdruck $(*)$ führt auf den gewünschten Widerspruch, da $q!\cdot e\not =N+M$ ist. Denn mit $N\in \mathbb {N}$ und $0<M<1$ ist die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung halt keine natürliche Zahl, obwohl sie gleich der natürlichen Zahl auf der linken Seite sein soll.

Schluss

Also ist die Voraussetzung falsch, es muss somit $e\notin \mathbb {Q}$ gelten, d.h. $e$ ist irrational.