Fraktal

Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoit Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Durch ihren Formenreichtum und dem damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der digitalen Kunst eine gewisse Rolle. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie beispielsweise realitätsnaher Landschaften eingesetzt.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch Dimension grösser ist als ihre topologische Dimension.

Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst, und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien der selbe, dann gilt für die Hausdorff-Dimension $D$

D={\frac {\log({\mbox{Anzahl selbstähnlicher Teile}})}{\log({\mbox{Verkleinerungsfaktor}})}}

Beispiele

Linie, Quadrat, Koch'sche Schneeflocke, ...

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch. Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Mandelbrot fand heraus, dass kein Fraktal in der Ebene eine Dimension größer als e haben kann. (?)

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe Applet.

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der Menger-Schwamm.

Ein weiteres Fraktal ist das Newton-Fraktal:

Datei:FRACT008.GIF

Es wird über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird, berechnet.

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind:

Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind IFS–Fraktale (Iterierte Funktionensysteme), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde, so genannte seltsame Attraktoren.
L-Systeme, die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen

Kochsche Schneeflocke

Datei:Pfeil.PNG

Pfeilspitzen-Fraktal

Datei:Gc 3.PNG

Gosper-Kurve

Datei:Pepl 3.PNG

Penta Plexity

Fraktal	L-System	Winkel	Strecken-Verhältnis
Drachenkurve	F -> R oder F -> L R -> +R--L+ L -> -R++L-	45°	$1:1/{\sqrt {2}}$
Gosper-Kurve	F -> R oder F -> L R -> R+L++L-R--RR-L+ L -> -R+LL++L+R--R-L	60°	$1:1/{\sqrt {7}}$
Hilbert-Kurve
Koch-Kurve	F F -> F+F--F+F	60°	1:1/3
Peano-Kurve
Penta Plexity	F++F++F++F++F F -> F++F++F\|F-F++F	36°	$1:1/\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{2}$
Pfeilspitze	F -> R oder F -> L R -> -L+R+L- L -> +R-L-R+	60°	1:1/2
Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Teppich

Erklärung des L-Systems:

Das optionale, also nicht notwendige F wird im allgemeinen als Strecke benutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das F meinen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie R und L einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. + und - meinen einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn, oder gegen den Uhrzeigersinn läuft.

- Beispiel Drachenkurve:

F -> R
R -> +R--L+
L -> -R++L-

F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F -> R heißt, das die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetztungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Imweiteren wird wie folgt ersetzt:

R
+R--L+
+(+R--L+)++(-R++L-)+
+(+(+R--L+)--(-R++L-)+)++(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+
.
.
.

Ab einem bestimmten Abschnitt muß dieser Ersetzungsprozeß abgebrochen werden, um ein Grafik zu bekommen:

+(+(+r--l+)--(-r++l-)+)++(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+

Wobei r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke darstellen.

Auf das folgende Logo-Programm bezogen:

Das Äquivalent zu F-> R:

to dragon :stufe :laenge
dcr :stufe :laenge
end

Das Äquivalent zu R -> +R--L+:

to dcr :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 1.41421
if :stufe > 0 [rt 45 dcr :stufe :laenge lt 90 dcl :stufe :laenge rt 45]
if :stufe = 0 [rt 45 fd :laenge lt 90 fd :laenge rt 45]
end

Das Äquivalent zu L -> -R++L-:

to dcl :stufe :laenge
make "stufe :stufe - 1
make "laenge :laenge / 1.41421
if :stufe > 0 [lt 45 dcr :stufe :laenge rt 90 dcl :stufe :laenge lt 45]
if :stufe = 0 [lt 45 fd :laenge rt 90 fd :laenge lt 45]
end

Fraktale in der Natur

Sehr leicht kann man Fraktale auch in der Natur und im täglichen Leben beobachten. Sofort fällt einem die fraktale Struktur bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei Farnen in das Auge. Auch bei bestimmten Bäumen kann man eine fraktale Struktur erkennen. Dabei erstreckt sich die Selbstähnlichkeit meist über 3-5 Skalen.

Literatur

Herbert Voß: Chaos und Fraktale selbst programmieren, franzis', ISBN 3-772-37003-9
Horst Halling / Rolf Möller: Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale, Spektrum, ISBN 3-860-25427-8
Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-764-32646-8
Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems, Springer, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images, ISBN 0-387-96608-0

Siehe auch

Chaostheorie, Apfelmännchen, Julia-Menge, Chaos-Spiel, Menger-Schwamm, Magnetisches Pendel, Lindenmayer-Systeme, Digitale Kunst

Weblinks

Commons: Fractal – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Computerprogramme

FractInt, für viele Plattformen
XaoS - der Fraktal-Navigator im GNU-Projekt, letzte Version von 1997
Fraktal Generator Java-Plugin erforderlich
Applet für Newton-Fraktale
Fraktalgenerator mit vielen Bearbeitungsmöglichkeiten