Poincaré-Lemma

Das Poincaré-Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannt. Es besagt, dass in jeder sternförmigen offenen Menge $U$, also insbesondere in konvexen Mengen einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die $k$-te de-Rham-Kohomologie verschwindet:

$H_{DR}^{k}(U)=0$

Anders ausgedrückt: in jeder sternförmigen offenen Menge ist jede geschlossene Differentialform exakt, d. h. für jede geschlossene $k$-Form $\omega ^{k}$ findet man eine $(k-1)$-Form $\eta ^{k-1}$ mit

$\mathrm {d} \eta ^{k-1}=\omega ^{k}$.

Der einfachste Spezialfall besagt, dass ein auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld von einem Potentialfeld herkommt.

Bemerkung

Das Poincaré-Lemma gibt auch eine solche $(k-1)$-Form explizit an. Für $\omega ^{k}=\sum \omega _{I}{\rm {d}}x_{I}$ ist die gesuchte $(k-1)$-Form $P{\big (}\mathrm {d} \omega ^{k}{\big )}$ :

$P({\rm {d}}\omega ^{k}):=\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{\alpha =1}^{k}(-1)^{\alpha -1}{\Big (}\int _{0}^{1}t^{k-1}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}(tx)dt{\Big )}x^{i_{\alpha }}{\rm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {{\rm {d}}x^{i_{\alpha }}}}\wedge \cdots \wedge {\rm {d}}x^{i_{k}}$

Nun zeigt man direkt, dass für geschlossenes $\omega ^{k}$

$\omega ^{k}\equiv \mathrm {d} P({\rm {d}}\omega ^{k})$

gilt.

$P{\big (}\mathrm {d} \omega ^{k}{\big )}$ ist nicht die einzige $(k-1)$-Form, deren äußeres Differential $\omega ^{k}$ ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer $(k-2)$-Form voneinander: Sind $\eta _{1}^{k-1}$ und $\eta _{2}^{k-1}$ zwei solche $(k-1)$-Formen, so existiert eine $(k-2)$-Form $\xi ^{k-2}$ derart, dass

$\eta _{1}^{k-1}=\eta _{2}^{k-1}+\mathrm {d} \xi ^{k-2}$

gilt (siehe Eichinvarianz).

In der Sprache der homologischen Algebra ist $P$ eine kontrahierende Homotopie.