Matrix (Mathematik)

In der linearen Algebra ist eine Matrix (pl.: Matrizen) eine 2-dimensionale Anordnung von Zahlenwerten (aber auch anderen Objekten wie Operatoren) in Tabellenform. Man spricht von den Spalten und Zeilen der Matrix, und bezeichnet selbige auch als Vektoren (d.h. Zeilenvektoren und Spaltenvektoren). Die Objekte, die in der Matrix angeordnet sind, nennt man Komponenten oder Elemente der Matrix.

Wenn die Matrix m Zeilen und n Spalten besitzt, spricht man von einer m × n-Matrix, und nennt m und n die Dimensionen der Matrix. Ist m = n spricht man von einer n × n oder quadratischen Matrix. Die Komponente, die in der i-ten Zeile an j-ter Stelle steht, hat die Indices i,j. Eine allgemeine 2 × 3 Matrix A sieht zum Beispiel so aus:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}=(a_{ij})_{i=1\ldots 2,j=1\ldots 3}$

Die Menge aller m × n-Matrizen über einer Menge K bezeichnet man mit K^m×n oder K^m,n, selten auch mit ^mKⁿ.

Hat eine Matrix nur eine einzige Spalte oder Zeile, dann nennt man sie Vektor. Man unterscheidet dabei zwischen einem Zeilenvektor (mit nur einer Zeile) oder einem Spaltenvektor (mit nur einer Spalte). Oft benötigt man diese Unterscheidung nicht (wenn man sie nicht mit Matrizen multiplizieren muss) und bezeichnet die Menge aller n-stelligen Vektoren über einer Menge K mit Kⁿ statt K^1×n oder K^n×1.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretenden Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix.

"Kippt" man die Matrix A an der Hauptdiagonalen (die von links oben nach rechts unten geht, ihre Komponenten sind a_ii), dann erhält man die zu A transponierte Matrix A^T.

Zwei Matrizen A und B gleicher Dimension mit Komponenten in einer Zahlenmenge (z.B. den reellen Zahlen) kann man komponentenweise addieren. Stimmt dagegen die Zeilenanzahl von A mit der Spaltenanzahl von B überein, dann kann man das Matrixprodukt A*B berechnen. Siehe dazu die folgenden Beispiele.

Rechnen mit Matrizen

Addieren von Matizen

Zwei Matrizen A und B werden addiert, indem man die in den Matrizen an entsprechender Stelle stehenden Komponenten addiert:

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{pmatrix}}$

Genauso werden auch Vektoren addiert.

${\begin{pmatrix}1\\2\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\7\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+3\\2+7\\9+2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\9\\11\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&2&9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3&7&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+3&2+7&9+2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&9&11\end{pmatrix}}$

Vervielfachen von Matrizen (Skalarmultiplikation)

Eine Matrix oder ein Vektor A wird mit einer Zahl r vervielfacht (multipliziert), indem man jede Komponente von A mit r multipliziert:

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}$

Diese Rechenoperation nennt man Skalarmultiplikation, das Ergebnis ist ein skalares Produkt, es ist zu unterscheiden vom Skalarprodukt zweier Vektoren.

Multiplizieren von Matrizen

Zwei Matrizen A und B werden miteinander multipliziert, indem jeweils die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den entsprechenden Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert werden. Die Multiplikation von Matrizen ist nur dann möglich, wenn die Länge der Zeilen (= die Anzahl der Spalten) der ersten Matrix mit der Länge der Spalten (= Anzahl der Zeilen) der zweiten Matrix übereinstimmt. Ist A eine l×m-Matrix und B eine m×n-Matrix, so ist das Produkt eine l×n-Matrix:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0)&(1\cdot -1+2\cdot 2+3\cdot -3)\\(4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0)&(4\cdot -1+5\cdot 2+6\cdot -3)\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Dabei können A und B auch Vektoren sein, solange die Formate passen (siehe dazu auch den Abschnitt Vektor-Vektor-Produkte).

Formal definiert ist die Matrixmultiplikation für Matrizen A = (a_ij) und B = (b_ij) der Formate l×m und m×n als die Matrix C = (c_ij) mit den Komponenten

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\quad i=1,\ldots l,j=1,\ldots n$

Die transponierte Matrix

Die Transponierte der Matrix A = (a_ij) vom Format m×n ist die Matrix A^T = (a_ji) vom Format n×m.

${\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}}$

Die inverse Matrix

Ist (R,+,*,0) ein Ring, dann bildet die Menge R^n×n der quadratischen Matrizen vom Format n×n ebenfalls einen Ring mit der oben definierten Matrixaddition und -multiplikation. Das Nullelement ist die Nullmatrix 0, deren Komponenten alle 0 sind. Hat R ein Einselement 1, dann ist die Einheitsmatrix E das Einselement des Matrixrings. Sie hat auf der Hauptdiagonalen 1 und sonst 0.

Ist K ein Körper, dann sind im Ring K^n×n genau diejenigen Matrizen invertierbar, deren Determinante ungleich 0 ist. Man kann die zur Matrix A inverse Matrix A^-1 zum Beispiel mit dem Gauss-Algorithmus bestimmen. Dazu löst man das lineare Gleichungssystem A*X = E. Die Matrix X ist dann die Inverse von A.

Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt)

Hat man zwei Spaltenvektoren v und w der Länge n, dann ist das Matrixprodukt v*w nicht definiert, aber die beiden Produkte v^T*w und v*w^T existieren.

Das erste Produkt ist eine 1×1-Matrix, die als Zahl interpretiert wird, sie wird das kanonische Skalarprodukt von v und w genannt und mit <v,w> bezeichnet.

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}^{T}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot (-2)+2\cdot (-1)+3\cdot 1=3$

Das zweite Produkt ist eine n×n-Matrix und heißt das dyadische Produkt von v und w.

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1\cdot (-2)&1\cdot (-1)&1\cdot 1\\2\cdot (-2)&2\cdot (-1)&2\cdot 1\\3\cdot (-2)&3\cdot (-1)&3\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-1&1\\-4&-2&2\\-6&-3&3\end{pmatrix}}$

Verallgemeinerungen

Man kann auch Matrizen mit unendlich vielen Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man immer noch addieren. Um sie jedoch multiplizieren zu können, muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten stellen (da die auftretenden Summen unendliche Reihen sind und nicht konvergieren müssten).

Lässt man mehr als zwei Indices zu, erhält man Strukturen, die man sich als drei- oder höherdimensionale Tabellen denken kann. Diese Strukturen sind spezielle Tensoren.