Charakteristisches Polynom

Das charakteristische Polynom CP einer quadratischen Matrix A ist gegeben durch folgende Funktion, wobei E die Einheitsmatrix ist:

$CP(A,\lambda )=\det(A-\lambda E)$

Das resultierende monische Polynom ist für eine n x n Matrix ein Polynom n-ten Grades.

Man kann auch $\det(\lambda E-A)$ definieren, wodurch sich jedoch nur bei ungeradem n das Vorzeichen des Polynoms ändert. Das charakteristische Polynom spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, denn die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt für das charakteristische Polynom $f_{A}(X)$ einer Matrix A: $f_{A}(A)=0$.

Daraus ergibt sich, dass das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt.

Für 2 x 2 Matrizen hat das charakteristische Polynom die besonders einfache Form:

$CP(A,\lambda )=\lambda ^{2}-\operatorname {spur} (A)\cdot \lambda +\det(A)$

Eigenschaften

• Die charakteristischen Polynome zweier ähnlicher Matrizen sind gleich, wobei die Umkehrung nicht richtig ist.
• Die Matrix A und ihre Transponierte besitzen das gleiche charakteristische Polynom

Beispiele

Gesucht ist das charakteristische Polynom zur Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&2&1\\4&2&1\end{pmatrix}}$.

Gemäß der obigen Definition berechnet sich das CP wie folgt:

${\begin{matrix}CP(A,\lambda )&=&\det(A-\lambda E)\\&=&{\begin{vmatrix}1-\lambda &0&1\\2&2-\lambda &1\\4&2&1-\lambda \end{vmatrix}}\\&=&\lambda ^{3}-4\lambda ^{2}-\lambda +4\\&=&(\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda -4)\end{matrix}}$

Damit besitzt die Matrix A die Eigenwerte 1, -1 und 4, welche den Nullstellen des CPs entsprechen.

Herleitung

Sei $\lambda$ der Eigenwert von $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ zum Eigenvektor $x\neq 0$

$\Rightarrow Ax=\lambda x$

$\Rightarrow (A-\lambda E)x=0$

$\Rightarrow A-\lambda E$ ist singulär

$\Rightarrow \det(A-\lambda E)=0$

Also ist $\lambda$ Nullstelle des charakteristischen Polynoms $\Box$

Links

Online-Tool zum Berechnen des Charakteristischen Polynoms