Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Koordinatentransformationen, Operatoren u.v.a.m.

Begriffsgeschichte

Das Nebeneinander der Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ ist nur historisch zu verstehen.

Der Begriff „Funktion“, 1694 von Leibniz eingeführt, wurde zunächst als formelmäßige Rechenvorschrift (z. B. y=x² oder f(x)=sin x) aufgefasst. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Bisweilen wurden auch mehrdeutige Funktionen, zum Beispiel eine im Vorzeichen unbestimmte Quadratwurzelfunktion, zugelassen.

Erst als die Analysis im 19. Jahrhunderts mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, entdeckten Weierstraß, Dedekind und andere, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln (mit endlich vielen Rechenoperationen) ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit „Transformation“ auch die Begriffe „Bewegung“ und „Abbildung“ gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ dann als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort: auch heute noch spricht man in der Analysis von Funktionen, in Algebra und Geometrie von Abbildungen. Weitere Synonyme in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operation in der Analysis, Verknüpfung und Morphismus in der Algebra.

Definitionen und Konventionen

Grundidee

Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element y einer Zielmenge $Z$ zu.

Schreibweise:

f:D\to W;x\mapsto y

Anmerkungen:

Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge muss (wenn überhaupt) nicht nur einem Element des Definitionsbereiches zugeordnet worden sein.
Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge Q gegeben. Wenn f als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge $D_{f}$ ,

indem man von Q diejenigen Elemente ausschließt, für die f nicht definiert ist.

Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge

D

in die Menge

Z

ist eine Menge

f

, welche die folgenden Eigenschaften hat:

$f$ ist eine Teilmenge von $D\times Z$ (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren $(x,y),$ wobei $x$ in $D$ und $y$ in $Z$ liegt,
zu jedem Element $x$ von $D$ gibt es genau ein Element $y$ von $Z$ (geschrieben $y=f(x)),$ so dass das Paar $(x,y)$ Element von $f$ ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität anstellen zu können. Letztlich werden sowohl Quell- als auch Zielmenge in die Definition aufgenommen und man erklärt:

Ein Tripel

f=(A,B,R)

, bestehend aus zwei Mengen

A

und

B

sowie einer Relation

R\subseteq A\times B

zwischen

A

und

B

, heißt Funktion von

A

nach

B

, wenn gilt: zu jedem Element

a

von

A

gibt es genau ein Element

b

von

B

(geschrieben

b=f(a)),

so dass das Paar

(a,b)

bzw.

(a,f(a))

Element von

R

ist.

R wird auch der Graph der Funktion genannt. Eine Funktion ist durch ihren Graphen und ihre Zielmenge eindeutig bestimmt. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich.

Daneben gibt es – vor allem in der Informatik – noch den Begriff der partiellen Funktion. Bei dieser darf es Elemente der Quellmenge ( $x$ -Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge ( $y$ -Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen $x$ -Wert nicht mehr als einen $y$ -Wert geben. Um partielle Funktionen von den in diesem Artikel behandelten Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man letztere auch als totale Funktionen.

Verschiedene Weisen, eine Funktion zu spezifizieren

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsterm: $x^{2}$
Funktionsgleichung: $f(x)=x^{2}$
Zuordnungsvorschrift: $x\mapsto x^{2}$
Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsbereiche)

$x$	1	2	3	4	5	6	…
$y$	1	4	9	16	25	36	…

Symbolische Schreibweisen

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im folgenden werden einige wichtige genannt.

Symbol	Erklärung
$f\colon A\to B$	Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon x\mapsto y$	Funktion, die $x$ auf $y$ abbildet; statt $y$ kann auch eine Formel o. Ä. stehen
$f\subseteq A\times B$	Funktion von $A$ nach $B$ (mengentheoretische Schreibweise)
$(x,y)\in f$	Funktion, die $x$ auf $y$ abbildet; statt $y$ kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)
$f\colon A\to B,x\mapsto f(x):=y$	Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt $f(x)$ stehen oft Dinge wie $x^{{-}1},\;{\overline {x}},\;x\cdot y$ u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von $y$ ) zur Berechnung des Bildes angibt
$f\colon A\rightarrowtail B$	injektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\twoheadrightarrow B$	surjektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\operatorname {\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail } B$ $f\colon A\operatorname {\rightleftarrows } B$ $f\colon A\operatorname {\leftrightarrow } B$	bijektive Funktion von $A$ nach $B$
$f\colon A\hookrightarrow B$	Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von $A$ in $B$ (D. h. A ist Untermenge von B und die Funktion bildet gleiche Elemente aufeinander ab.)
$f\colon A=B\,\!$	Identität, identische Abbildung von $A$ nach $B$ (D. h. A = B und die Funktion bildet gleiche Elemente aufeinander ab.)
$f\colon A\cong B$ $f\colon A{\stackrel {\mathrm {\cong } }{\rightarrow }}B$	Isomorphismus
$f\colon A\rightsquigarrow B$	partielle Funktion (s. o.) von $A$ nach $B$
$f\colon A\multimap B$	mehrdeutige Funktion (s. o.) von $A$ nach $B$

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

Schreib- und Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- bzw. ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem im Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

„x wird abgebildet auf f von x“

„f von x wird x zugeordnet“ (vornehmlich, wenn das

\mapsto

-Symbol in der Symbolik steht)

„y gleich f von x“ (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)

„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik und in der Physik sehr nahe stehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen $y$ von einer anderen Variablen $x$ , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen $x$ und $y$ (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, erst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen $x$ und $y$ , zuzuordnen, und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht z. B. $y$ für die Raumtemperatur und $x$ für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ bzw. stellvertretend „y eine Funktion von x ist.“

Statt Definitionsmenge $A$ wird auch Definitionsbereich, Domain, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Insbesondere im Falle partieller Funktionen wird zusätzlich von der Quellmenge gesprochen, diese heißt auch Quelle oder Source. Die Elemente von $A$ heißen Funktionsargumente oder Urbilder, salopp auch $x$ -Werte. Die Zielmenge B wird auch Wertemenge, Wertebereich, Codomain oder Destination genannt, die Elemente von $B$ heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch $y$ -Werte. Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder heißen dagegen nur diejenigen Elemente von $B,$ die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten, die Menge der Funktionswerte heißt Bildmenge, Bild oder Image von $f.$

Wertemenge/-bereich wird manchmal etwas uneinheitlich auch als Synonym zu Bildmenge benutzt.

Für die verschiedenen Mengen sind diverse Operatoren-Schreibweisen in Gebrauch, also Kurzschreibweisen, die ähnlich eine Funktion der Funktion $f$ ihre verschiedenen Mengen zuordnet. Hier die gängigsten Beispiele:

Definitionsbereich	$\operatorname {D} _{f},\;\operatorname {Def} _{f},\;\operatorname {D} (f),\;\operatorname {Def} (f),\;\operatorname {Ur} (f)$
Quellmenge	$\operatorname {Q} _{f},\;\operatorname {Quelle} _{f},\;\operatorname {Q} (f),\;\operatorname {Quelle} (f),\;\operatorname {Src} (f)$
Bildmenge	$f(A),\;\operatorname {B} _{f},\;\operatorname {Bild} _{f},\;\operatorname {B} (f),\;\operatorname {Bild} (f),\;\operatorname {Im} _{f},\;\operatorname {I} _{f},\;\operatorname {Im} (f),\;\operatorname {I} (f)$
Wertebereich	$\operatorname {W} _{f},\;\operatorname {Werte} _{f},\;\operatorname {W} (f),\;\operatorname {Werte} (f),\;\operatorname {Cod} _{f},\;\operatorname {Dst} _{f},\;\operatorname {Cod} (f),\;\operatorname {Dst} (f)$

Insbesondere wird für jede Untermenge $C\subset \operatorname {Bild} (f)$ von $\operatorname {Bild} (f)$ mit $f^{{-}1}(C)$ das Urbild von $C$ bezüglich der Funktion $f$ bezeichnet. Es gilt dann $\operatorname {Def} _{f}=f^{{-}1}(\operatorname {Bild} (f)).$ Dieses $f^{{-}1}(C)$ ist nicht zu verwechseln mit dem Bild der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion, es ist nur eine Schreibweise für das Urbild; im Falle, dass $f$ bijektiv ist, stimmen aber das so beschriebene Urbild von $C$ bezüglich $f$ und das Bild von $C$ unter der Umkehrfunktion $f^{{-}1}$ überein.

Funktionen als Strukturen

Eine große Rolle spielen Funktionen in der Mathematik auch als Hilfsmittel, um mehreren gleichartigen Größen eine Struktur zuzuordnen. Dabei kommt fast immer eine der folgenden Abbildungen (eventuell mit anderen Bezeichnungen) als konkretes Hilfmittel vor:

$f:\mathbb {N} \to X$
$f:A\to X$
$f:\mathbb {N} \times \ldots \times \mathbb {N} \to X$
$f:A\times \ldots \times A\to X$

wobei $X$ die Menge ist, die die zu strukturierenden Größen enthält, $\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen (mit oder ohne Null) als Sonderfall von $A$ , die eine beliebige Menge ist. Die zweite Variante enthält bereits die anderen drei Varianten als Sonderfälle. Die Mengen auf der linken Seite werden in diesem Zusammenhang Indexmenge genannt. Häufig trifft man auf die Formulierung: „Sei $A$ eine beliebige Indexmenge.“ Danach wird $A$ gar nicht weiter definiert, weil es meist unerheblich ist, wie die Elemente von $A$ tatsächlich aussehen. Deswegen wird für eine abzählbar unendliche Indexmenge oft $\mathbb {N}$ gewählt, um die Sache anschaulicher zu machen.

Die Strukturierung der Menge $X$ erfolgt nun dadurch, dass man gedanklich die Strukturierung (Anordnung, Unterscheidung der Elemente etc.) der Indexmenge auf $X$ überträgt. Am einfachsten ist das im Falle der Indexmenge $\mathbb {N} .$ Die indizierten Elemente erhalten dann etwa die Reihenfolge, in der sie als Bilder der natürlichen Zahlen vorkommen, also zuerst das Bild der 1, dann das der 2, das der 3, der 4, der 5 etc. – so wird die Anordnung der natürlichen Zahlen übertragen. Kommt ein Element gleichzeitig als Bild mehrerer Zahlen vor, so wird es auch mehrfach aufgeführt – so wird die Unterscheidung zwischen natürlichen Zahlen übertragen.

Standardbeispiel sind Tupel: Ein $n$ -Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ über einer Menge $X$ wird als Abbildung $f:A\to X$ mit $A=\{1,2,\ldots ,n\}\subset \mathbb {N}$ betrachtet, wobei $f(i)=x_{i}$ gilt. Im Endeffekt sind die Indizes an den $x$ gleichbedeutend mit der indizierenden Abbildung – daher auch der Name.

Beispiel:

Um den Werten 4, 5, 6 und 4 die Struktur einer Tabelle mit zwei Spalten und zwei Zeilen zuzuordnen

{\begin{pmatrix}4&5\\6&4\\\end{pmatrix}}

wird jeder Position in der Tabelle (repräsentiert durch das Zahlenpaar Zeile und Spalte) ein Wert zugeordnet, hier zum Beispiel für Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:

(2,1)\mapsto 6

Das ist das Gleiche, als würde man dieses Zahlenpaar als Index der jeweiligen Position schreiben.

Die Funktion

\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\to \mathbb {R} ,\quad (i,j)\mapsto a_{ij}

ist eine allgemeine Darstellung einer solchen Tabelle mit Werten

a_{11}

,

a_{12}

,

a_{21}

und

a_{22}

.

Auf diese Weise werden in der Mathematik unter anderem $n$ -Tupel, Folgen und Matrizen definiert.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion $f:U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R}$ kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion $f$ kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare $(x|y)$ , für die $y=f(x)$ . Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes $\mathbb {R} ^{2}$ ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen $f:U\to \mathbb {R} ^{2},\ U\subseteq \mathbb {R}$ und $g:U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist f stetig, so ergibt sich eine Kurve, die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist g stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\ x\mapsto x+1$

Wichtige Begriffe

Das Bild eines Elements $x$ der Definitionsmenge ist einfach $f(x)$ .
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Elemente die in $B$ getroffen werden, also $f(A)=\{f(x):x\in A\}$ und dies ist eine Teilmenge von $B$
Das Urbild eines Elements $y$ der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild $y$ ist. Man schreibt $f^{-1}(y)=\{x\in A:f(x)=y\}$ . Man sagt auch Faser von $y$ .
Das Urbild einer Teilmenge $M$ der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. $f^{-1}(M)=\{x\in A:f(x)\in M\}$ .
Die Verkettung oder Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen

durch Hintereinanderausführung $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ .

Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element $x$ des Definitionsbereichs von $f$ , für das $f(x)=x$ gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat. D. h. aus $f(x_{1})=y=f(x_{2})$ folgt $x_{1}=x_{2}.$
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h. zu beliebigem $y$ gibt es ein $x$ , so dass $f(x)=y.$
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Sie ist idempotent, wenn $f(f(x))=f(x)\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Sie ist eine Involution, wenn $f(f(x))=x\,$ für alle Elemente $x$ des Definitionsbereichs gilt.
Eine zweistellige Funktion $f$ heißt kommutativ, wenn $f(x,y)=f(y,x)\,$ für alle $x$ und $y$ aus der Definitionsmenge gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt gerade Funktion, wenn für alle $x\in D$ auch $-x\in D$ ist und die Achsensymmetrie $f(x)=f(-x)\,$ gilt.
Eine Funktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ heißt ungerade Funktion, wenn für alle $x\in D$ auch $-x\in D$ ist und die Punktsymmetrie $f(-x)=-f(x)\,$ gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Datei:Lineare Funktion.PNG

affine Funktion

Polynomfunktion 5. Grades

komplexe Exponentialfunktion

Sinusfunktion

Kugelflächenfunktion

Gaußsche Glockenkurve

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungsmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

Algebraische Funktionen: Man nennt eine Funktion $w=w(z)$ algebraisch, wenn sie Lösung einer algebraischen Gleichung

\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{m}a_{ij}z^{i}w^{j}=0

ist, wobei das Polynom

\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{m}a_{ij}X_{1}^{i}X_{2}^{j}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2}]

über

\mathbb {C}

irreduzibel ist.^[1]Zu der Menge der algebraischen Funktionen gehören unter anderem alle Funktionen, die sich aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzen. Es existieren aber auch algebraische Funktionen, die sich auf diese Weise nicht darstellen lassen (siehe Galoistheorie).

homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch $f(x)=mx$ ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch $f(x)=mx+n$ ; siehe auch affine Abbildung
Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch $f(x)=ax^{2}+bx+c$ (s. Quadratische Gleichung)
Kubische Funktion
Potenzfunktion
Polynom-Funktion; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}$ oder
$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$
Rationale Funktion; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, $f(x)=g(x)/h(x)$
Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke