Fermatsches Prinzip

Das Fermatsche Prinzip oder auch Prinzip des kleinsten Lichtwegs besagt, dass in der geometrischen Optik für die Bahn eines Lichtstrahls zwischen zwei festen Punkten $S$ und $P$ gelten muss: bei Variation der Bahn ändert sich der Lichtweg in linearer Näherung nicht.

Es ist nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat benannt.

Als Lichtweg $L$ oder optische Weglänge (im Gegensatz zum geometrischen Weg s) wird hier das Produkt der Brechzahl n(s) an der Stelle s und des vom Licht zurückgelegten Weges ds zwischen den Punkten $S$ und $P$ bezeichnet:

L=\int _{S}^{P}n(s)ds

.

Weil die Brechzahl als das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten im Vakuum und im Medium definiert ist, ist der Lichtweg $L$ zu der Zeit $t$ proportional, die das Licht von $S$ nach $P$ braucht: $L=c\cdot t$ ( $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum).

Genauer besagt das Fermatsche Prinzip: sei $\mu$ ein Parameter, von dem die Bahn des Lichtstrahls kontinuierlich abhängt, wobei aber $S$ und $P$ fest bleiben. $\mu =0$ ergibt die unvariierte Bahn. Sei $L(\mu )$ der Lichtweg entlang der Bahn von $S$ nach $P$ abhängig vom Parameter $\mu$ . Dann muss die Ableitung des Lichtwegs nach dem Parameter $\mu$ an der Stelle $\mu =0$ verschwinden:

\left.{\frac {dL(\mu )}{d\mu }}\right|_{\mu =0}=0

Und dies muss für alle Möglichkeiten gelten, die Bahn zu parametrisieren. Dabei darf aber die Variation der Bahn keine qualitative Änderung bewirken. Wenn die Bahn z. B. einen Reflexionspunkt enthält, dann darf dieser bei Änderung des Parameterwerts auf der reflektierenden Fläche herumwandern, sich aber nicht von ihr lösen.

Meist ist der Lichtweg ein Minimum, d. h. jede kleine Variation der Bahn verlängert den Lichtweg, daher auch der Name Prinzip des kleinsten Lichtwegs. Dass dies aber nicht immer so sein muss, zeigt die Abbildung rechts. Für eine Bahn zwischen den zwei Brennpunkten $S$ und $P$ einer Ellipse sind drei Fälle eingezeichnet, die alle in der Realität möglich sind:

Reflexion an einer Fläche mit einer geringeren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche: Der Lichtweg besitzt ein Minimum.
Reflexion an der innen verspiegelten Ellipsoidfläche: alle Punkte auf der Fläche sind gleichwertig; Verschieben des Reflexionspunkts ändert den Lichtweg nicht.
Reflexion an einer Fläche mit einer höheren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche: Der Lichtweg besitzt bei Verschiebung des Reflexionspunktes auf dieser Fläche an dieser Stelle ein Maximum. Dieser Fall kann in der Praxis z. B. bei Reflexion an einem Hohlspiegel auftreten.

Folgerungen aus dem Fermatschen Prinzip:

das Snelliussche Brechungsgesetz
das Reflexionsgesetz
in einem homogenen Medium folgen Lichtstrahlen geraden und in einem inhomogenen Medium (mit ortsabhängiger Brechzahl) gekrümmten Bahnen.

Letzteres ist z. B. für sogenannte Luftspiegelungen verantwortlich: über heißem Boden, etwa einer sonnenbeschienenen Straße, bildet sich eine heiße Luftschicht, deren Brechzahl geringer ist als die der kühleren Luft darüber. Die Lichtstrahlen, die flach auf die heiße Luftschicht treffen, werden nach oben zurück gekrümmt. Es sieht dann so aus, als würde das Licht an Wasserpfützen reflektiert.

Kurz und einfach

Das Fermatsche Prinzip besagt, dass das Licht immer den schnellsten (oder den langsamsten) Weg von einem Punkt zum anderen (auch über einen "Checkpoint" wie einen Spiegel) nimmt!

Eine gute Verbildlichung ist ein Rettungsschwimmer am Strand: Dieser sieht eine ertrinkende Person in der rechten Hälfte seines Strandabschnittes. Sinnvollerweise würde er dann erst schräg nach rechts über Strand laufen, um dann direkt geradlinig auf die ertrinkende Person zuzuschwimmen, da er am Strand schneller als im Wasser ist bzw. weniger Widerstand bei der Fortbewegung spürt. Dies ist jedoch nur ein Bildnis zum besseren Verständnis.

Siehe auch

Links

http://didaktik.physik.hu-berlin.de/forschung/optik/download/veroeffentlichungen/fermat.pdf