Elastizität (Wirtschaft)

In den Wirtschaftswissenschaften ist eine Elastizität ein Maß, das angibt, wie eine abhängige Größe auf eine Änderung einer ihrer Einflussgrößen reagiert. Beispielsweise gibt die Preiselastizität des Angebots wieder, wie sich das Angebot eines Wirtschaftsguts ändert, wenn sich der Preis des Gutes ändert.

Nicht ganz korrekt, aber anschaulich ist dabei folgende Fragestellung: Um wieviel Prozent verändert sich eine Variable als Reaktion auf die einprozentige Änderung der anderen Variable? Ganz korrekt wird diese Definition, wenn man statt einer einprozentigen Änderung eine infinitesimale (etwa: unendlich kleine) Änderung betrachtet.

Mathematische Darstellung

Eine unabhängige Variable x

Um diese Verbaldefinition mathematisch zu fassen, betrachtet man eine Funktion $y=f(x)\,$.

Analog zum Konzept des Differenzenquotienten als Hinführung zum Differentialquotienten wird zunächst von der so genannten Bogenelastizität ausgegangen. Man betrachtet ein endlich kleine Änderung $\Delta x$ der Variablen $x$ und $\Delta y$ der Variablen $y$, so dass sich die relativen Änderungen ${\frac {\Delta x}{x}}$ und ${\frac {\Delta y}{y}}$ ergeben. Die durchschnittliche relative Änderung von y in Bezug auf auf eine relative Änderung von $x$ gibt die Bogenelastizität

$\varepsilon _{y,x}={\frac {\frac {\Delta y}{y}}{\frac {\Delta x}{x}}}$

an. Lässt man $\Delta x\rightarrow 0$ gehen, erhält man als infinitesimale Auffassung die Elastizitätsfunkion von y bezüglich x

$\varepsilon _{y,x}={\frac {\frac {\mathrm {d} y}{y}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$, die sich auch als

$\varepsilon _{y,x}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\cdot {\frac {x}{y}}=y'\cdot {\frac {x}{y}}=$

darstellen lässt, für alle Werte von y, wo keine Nullstelle vorliegt und wo die Funktion differenzierbar ist. Es lässt sich zudem zeigen, dass sich die Elastizität auch darstellen lässt als

$\varepsilon _{y,x}={\frac {\mathrm {d} lny}{\mathrm {d} lnx}}$.

Mehrere unabhängige Variablen

Man betrachtet man eine Funktion $y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,$, die von einer oder mehreren Einflussgrößen $x_{1},x_{2},...,x_{n}\,$ abhängt. Eine Elastizität $\epsilon _{i}\,$ gibt an, um welchen relativen Betrag $\Delta y/y\,$ sich ceteris paribus der Funktionswert $y\,$ ändert, wenn sich eine Einflussgröße um den relativen Betrag $\Delta x_{i}/x_{i}\,$ ändert. Damit ergibt sich für die Bogenelastizität

$\epsilon _{y,x_{i}}={\Delta y/y \over \Delta x_{i}/x_{i}}$

und bei infinitesimaler Betrachtung

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{y,x_i} \lim_{\Delta x_i\rarr0}{\Delta y/y\over \Delta x_i / x_i} = {\partial y/y\over \partial x_i/x_i} = {x_i\over y}{\partial y\over\partial x_i}}

wobei $\partial$ eine partielle Ableitungbezeichnet.

Mathematische Eigenschaften der Elastizität

Die Elastizität ist dimensionslos. Ihr Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen.

• $\varepsilon _{y,x}={\frac {1}{\varepsilon _{x,y}}}$
• $\varepsilon _{(y+z),x}={\frac {y\cdot \varepsilon _{y,x}+z\cdot \varepsilon _{z,x}}{y+z}}$
• $\varepsilon _{(y\cdot z),x}=\varepsilon _{y,x}+\varepsilon _{z,x}$

Ökonomische Eigenschaften der Elastizität

Die Elastizität ist ein Maß für das Ausmaß der Reagibilität einer Funktion bezüglich einer Änderung des Abszissenwertes. Eine negative Elastizität bedeutet, dass die Funktion in dem betreffenden Bereich fällt.

Es lassen sich bezüglich der Elastizität folgende Erkenntnisse ableiten:

Wert von $\varepsilon$	Bezeichnung	Auswirkung
$\varepsilon =0$	y ist vollkommen unelastisch.	y reagiert nicht auf eine Änderung von x.
$0<|\varepsilon |<1$	y ist unelastisch.	y ändert sich relativ weniger stark als x.
$|\varepsilon |=1$	y ist proportional elastisch.	Die relative Änderung von y ist gleich der von x.
$|\varepsilon |>1$	y ist elastisch.	y ändert sich relativ stärker als x.
$|\varepsilon |\rightarrow \infty$	y ist vollkommen elastisch.	Die relative Änderung von y ist unendlich hoch, selbst bei der kleinsten Änderung von x.

Der Betrag (Absolutwert) der liegt zwischen liegt im Intervall zwischen 0 und unendlich, inklusive der beiden Grenzen als Spezialfälle. Ein Intervall einer Funktion mit der Elastizität 0 wird als vollkommen unelastisch, eine mit der Elastizität unendlich oder minus unendlich als vollkommen elastisch bezeichnet.

Hinweis: Eine lineare Funktion, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften häufig eingesetzt wird, hat in der Regel wie die meisten Funktionen an jedem Punkt eine andere Elastizität (Ausnahme: Ursprungsgeraden). Funktionen, die über ihren gesamten Definitionsbereich die gleiche Elastizität aufweisen, werden als Isoelastische Funktionen bezeichnet. Beispiele wären die Funktion $y={1 \over x}$ mit der Elastizität $\epsilon =-1\,$ oder wie erwähnt eine Ursprungsgerade $y=ax\,$ mit der Elastizität $\epsilon =1\,$.

Beispiel

Anwendungsbeispiel

Das Unternehmen Exper führt ein Experiment durch, um für ein Produkt die Wirkung des Marketing-Instruments Preis zu ermitteln. Exper erhöht den Preis des Produktes um 1 €, worauf der Absatz um 10.000 Stück sinkt. Hat der Preis eine starke Wirkung?

Anhand der angebenen absoluten Größen läßt sich diese Frage wohl kaum beantworten. Es fehlt der Vergleichmaßstab: Betrug der Preis im Ausgangspunkt 10 oder 100 €? Ist der Absatz von 50.000 auf 40.000 oder von 1.000.000 auf 990.000 Stück gesunken? Ein sinnvolles Maß für die Wirkung eines Instruments ist dagegen die Elastizität, die von relativen Änderungen ausgeht. Da die Elastizität keine Dimension - wie "€" oder "Stück" - enthält, ermöglicht sie die Vergleichbarkeit von Werten zwischen Produkten bzw. zwischen Konkurrenten.

Rechnung

Eine Gerade, die nicht vom Koordinatenursprung ausgeht, hat an jeder Stelle eine andere Elastizität. Dies lässt sich mit einem kleinen Rechenbeispiel verdeutlichen. Gegeben ist die lineare Funktion $y=f(x)=x+100$. Es soll die Elastizität am Punkt $x=100$ untersucht werden. Zunächst wird der x-Wert um ein erhöht Prozent und kontrolliert, um wieviel Prozent sich der y-Wert verändert.

Zu $x=100$ gehört $y=f(100)=100+100=200$.

x wird um 1% erhöht: $x+\Delta x=100+1$. Also erhält man für $y=f(101)=101+100=201$.

Nach der 1%-igen Erhöhung von x ist der y-Wert von 200 auf 201 angewachsen. Er hat sich also absolut um 1 erhöht, was einer prozentualen Änderung von 0,5% entspricht.

Die Elastizität bei einer Geraden, die nicht vom Koordinatenursprung ausgeht, wird für größere x immer größer. Dies sehen wir sofort, wenn wir nun die Elastizität für den Punkt x=200 berechnen.

x=200, dann ist y=f(x)=f(200)= 200 + 100 = 300

x um 1% erhöhen; dazu müssen wir x absolut um 2 erhöhen

x=202, dann ist y=f(x)=f(202)= 202 + 100 = 302

Am Anfang hatten wir für y einen Wert von 300. Nach der 1%-igen Erhöhung von x ist der y-Wert auf 302 angewachsen. Er hat sich also absolut um 2 erhöht. Die prozentuale Änderung ist dabei 2/300 = 0,00667 also 0,667%.

Die Elastizitätsfunktion für eine Gerade $y=a+bx$ ergibt sich zu

$\varepsilon ={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {x}{y}}=y'\cdot {\frac {x}{y}}=b\cdot {\frac {x}{a+bx}}$,

woraus ersichtlich ist, dass die Elastizität einer Geraden immer positiv ist

Man kann diese Rechnung auch für andere Werte von x ausprobieren. Auch kann man statt der 1%-igen Erhöhung auch eine 10%-ige versuchen. Es kommt immer zum gleichen Ergebnis: die Elastizität nimmt für wachsende x immer mehr zu.

Formulierungen

Eine Elastizität mit dem Wert 1 wird als proportional elastisch oder fließend bezeichnet. Werte darunter werden als unterproportional elastisch bzw. unelastisch bezeichnet, während Werte darüber als überproportional elastisch bzw. elastisch bezeichnet werden.

Arten von Elastizitäten

In den Wirtschaftswissenschaften spielen unter anderem folgende Elastizitäten eine Rolle:

Elastizitäten in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable

• Preiselastizitäten: Welchen Einfluss haben Preisänderungen auf Angebot und Nachfrage?
• Kreuzpreiselastizitäten: Welchen Einfluss haben Preisänderungen bei einem Gut auf Angebot und Nachfrage bei anderen Gütern?
• Einkommenselastizitäten: Welchen Einfluss haben Einkommensänderungen auf die Nachfrage nach einem Gut?
• Absatzwertelastizitäten: Welchen Einfluss haben Marketingaufwände auf die Nachfrage nach einem Gut?

Elastizitäten in Abhängigkeit von der Marktseite

• Angebotselastizitäten: Wie reagiert das Angebot auf Änderungen anderer Variablen?
• Nachfrageelastizitäten: Wie reagiert die Nachfrage auf Änderungen anderer Variablen?

Verknüpfung

	Angebot als abhängige Variable	Nachfrage als abhängige Variable
Preis als unabhängige Variable	(direkte) Preiselastizität des Angebots: gibt an, wie stark das Angebot an einem Gut auf Veränderungen des eigenen Preises reagiert.	(direkte) Preiselastizität der Nachfrage: gibt an, wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Veränderungen des eigenen Preises reagiert.
Kreuzpreis als unabhängige Variable	Kreuzpreiselastizität des Angebots: gibt an, wie stark das Angebot an einem Gut auf Veränderungen des Preises bei einem Konkurrenzprodukt reagiert.	Kreuzpreiselastizität der Nachfrage: gibt an, wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Veränderungen des Preises eines anderen Produktes reagiert.
Einkommen als unabhängige Variable		Einkommenselastizität der Nachfrage: gibt an, wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Veränderungen des Einkommens reagiert.

Weitere ökonomische Elastizitäten

• Unternehmenselastizität
• Substitutionselastizität: gibt an, wie "leicht" man bei einer gegebenen Produktionsfunktion und konstant gehaltenem Output einen Produktionsfaktor (z. B. Arbeit) durch einen anderen (z. B. Kapital) ersetzen kann. (Vergleiche beispielsweise die CES-Produktionsfunktion)
• Skalenelastizität, gibt an, wie stark der Output gesteigert werden kann, wenn die Einsatzmengen der Inputs ausgedehnt werden.
• Steuerbetragselastizität
• Zinselastizität
• Einkommenselastizität

Quellen

Marketing-Planung auf der Basis von Reaktionsfunktionen (I) - Elastizitäten und Absatzreaktionsfunktionen, Karen Gedenk und Bernd Skiera, 1993/1994

Siehe auch

• Amoroso-Robinson-Relation