Regelstrecke
Als Regelstrecke bezeichnet man denjenigen Teil einer Regeleinrichtung, der die zu regelnde physikalische Größe enthält, auf die der Regler mit seiner Stellgröße wirken soll. Die Regelstrecke kann aus einem oder mehreren Regelstreckengliedern bestehen. Diese können wiederum als Reihenschaltung, als Parallelschaltung oder auch aus einem unterlagerten Regelkreis bestehen.
Weil alle Regelkreisglieder ein Zeitverhalten haben, muss das Zeitverhalten des Reglers auf das der Strecke so angepasst werden, damit bei einer Änderung des Sollwertes oder bei Einwirken einer Störgröße die Regelgröße den Sollwert in gewünschter Weise - von aperiodisch bis gedämpft schwingend - optimal erreicht.
Das Verhalten der Regelkreisglieder wird durch Differentialgleichungen beschrieben. Bei linearen Systemen ist es vorteilhaft, die Regelkreisglieder nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich als so genannte Übertragungs-funktion zu betrachten.
Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis von Ausgangssignal zu Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz s. Sie entsteht z.B. unter der Voraussetzung, dass die Anfangsbedingung eines Systems Null ist, durch die Laplace-Transformation der zeitabhängigen Terme einer Differentialgleichung.
Die grafische Darstellung der örtlichen Lage der Nullstelen und Polstellen einer Übertragungsfunktion in der s-Ebene (s = Ϭ+j*ω) ist eine der wichtigsten Kriterien zur Definition der Stabilität eines Systems.
Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion. Er kennzeichnet das Verhalten eines Systems mit erzwungener Dauerschwingung und der imaginären Frequenz p = j*ω. Beide Begriffe unterscheiden sich nur durch die Entstehungsweise. Der entscheidende Vorteil der Umwandlung der Funktionen vom Zeitbereich zum Frequenzbereich ist die algebraische Behandlung der Übertragungsfunktionen.
Charakterisierung der Regelstrecken
Die allgemeine Form einer Differentialgleichung für ein lineares Regelkreisglied mit Xe als Eingangsgröße und Xa als Ausgangsgröße und den konstanten Koeffizienten a und b lautet:
Der höchste Grad der Ableitung der Gleichung gibt die Anzahl der Speicherelemente der Strecke wieder.
Für die Darstellung als Übertragungsfunktion werden die einzelnen Terme der Gleichung der Laplace-Transformation unterzogen, indem je nach Grad der Ableitung dn / dtn durch den Operator s_n ersetzt wird. Das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße ergibt die Übertragungsfunktion. Dabei sind die Anfangsbedingungen für Xa zu Null gesetzt:
In der Normalform werden die konstanten Koeffizienten durch das Symbol der dimensionslosen Zeitkonstanten T ersetzt.
G(s) = Xa(s) / Xe(s) = K*(1+T01*s+T02*s²+T03*s³…) / (1+T1*s+T2*s+T3*s…)
Die dargestellten Polynome des Zählers und des Nenners können – wenn die Zeitkonstanten bekannt sind – in weitere Grundglieder zerlegt werden. Liegen Zähler- oder Nennerpolynome der Übertragungsfunktion vor, müssen erst die Nullstellen je nach Grad der Polynome gegebenenfalls bei höherer (ab 4. Ordnung) mit aufwendigen Rechenverfahren ermittelt werden, um die Polynome in faktorielle Grundglieder zerlegen zu könen.
In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (stabilen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende 3 Grundformen geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen:
Typ Übertragungsfunktion Bedeutung im Zähler Bedeutung im Nenner G1(s)=T*s Differenzierer, D-Glied Integrator, I-Glied G2(s)=T*s+1 PD-Glied Verzögerung, T1-Glied G3(s)=T²*s²+2*D*T+1 PD-Glied 2. Ordnung 2 T1-Glieder oder Schwingungsglied für D<1>0
- Dabei bedeuten:
- T = Zeitkonstante, s = komplexe Frequenz = Laplace-Operator, D= Dämpfungsgrad,
- Die Zeitkonstanten im Frequenzbereich entsprechen einer dimensionslosen Zahl.
- Bei so genannten nichtregulären (instabilen) Systemen lauten die Übertragungsfunktionen:
- G4(s)=T*s-1 und G5(s)=T²*s²-2DT*s+1
Regelkreissysteme können definiert werden als:
- Reihenschaltung: G(s)=G1(s) * G2(s),
- Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden. Systemausgänge werden nicht durch nachfolgende Eingänge belastet.
- Parallelschaltung: G(s)= G1(s) ± G2(s),
- Gegen- und Mittkopplung: G(s) = G1 / (1 ± G1*G2)
Die faktorielle Darstellung der Grundglieder in der Reihenschaltung ist sehr vorteilhaft, weil sämtliche Daten für die Kriterien der Stabilität wie Pole, Nullstellen, Verstärkung und Zeitkonstanten sich aus den Übertragungsfunktionen der Regelkreisglieder ableiten lassen. Gleiche differenzierende und verzögernde Grundformen der Übertragungsfunktionen mit gleichen Zeitkonstanten kompensieren sich zu G(s) = 1.
Man unterscheidet lineare Regelstrecken (auch proportionale Regelstrecken n-ter Ordnung genannt) und nichtlineare Regelstrecken. Bei linearen Regelstrecken unterscheidet man Regelstrecken mit Ausgleich, ohne Ausgleich und instabile Regelstrecken.
- Bei Regelstreckengliedern mit Ausgleich erreicht die Ausgangsgröße Xa(t) nach genügend langer Zeit die Eingangsgröße Xe(t). Beide Größen unterscheiden sich für t gegen ∞ nur durch den Proportionalitätsfaktor K. Xa(t) = Xe(t) * K
- Unter linearen Regelstreckengliedern ohne Ausgleich versteht man Regelstrecken mit I-Verhalten (I-Glied). Dabei strebt die Ausgangsgröße Xa nach genügend langer Zeit einen unendlich großen Wert an, der nur durch die gerätetechnische Begrenzung endet. Sie gelten als Grenzwertstabil.
- Instabilen Regelstrecken erkennt man an der Art der Polstellen. Sie liegen in der rechten s-Halbebene und haben einen positiven Realteil. Die Übertragungsfunktion in Produktdarstellung hat einen negativen Koeffizienten. Das Polynom der charakteristischen Gleichung der Übertragungsfunktion kann trotz positiver Koeffizienten positive Pole enthalten und damit instabil sein.
Lineare Regelstrecken
Wenn für ein Übertragungssystem alle Koeffizienten der Differentialgleichung von der höchsten Ableitung von xa(t) bis xa(t) lückenlos vorhanden und positiv sind, dann ist zunächst eine Grundforderung der Stabilität des Systems erfüllt.
P-Regelstrecke
Proportionale Regelstreckenglieder ohne Zeitverhalten haben keine Bedeutung für regelungstechnische Berechnungen. Sie stellen lediglich einen Faktor dar, der in Verbindung mit anderen Faktoren von Regelstreckengliedern zusammengefasst werden kann. Ohne Hinzufügen eines definierten Zeitverhaltens (eines Poles), wäre eine solche Strecke nicht zuverlässig regelbar. Ein Widerstands-Spannungsteiler oder Untersetzungen in Hydrauliksystemen sind Beispiele für P-Regelstrecke ohne Zeitverhalten.
Verzögerungsglied 1. Ordnung (T1-Glied)
Das T1-Glied kommt in der Natur und in der Technik am häufigsten vor. Es entsteht z.B., wenn eine Masse bewegt wird, wenn Wärme in ein Medium fließt oder Spannung an ein RC-Glied angelegt und jeweils am Ausgang des Systems die erwartete Größe gemessen wird. Das T1-Glied ist ein System mit Ausgleich.
Differentialgleichung: T * Xa´(t) + Xa(t) = K * Xe(t) Xa(t) = K / T * ∫(Xe-Xa) * dt Übertragungsfunktion: G(s) = K / (T*s + 1)
Die dargestellte Grafik zeigt die Sprungantwort von 4 hintereinander geschalteten T1-Gliedern mit je T = 1s
Verzögerungsglied 2. Ordnung (T2-Glied)
Wenn ein Nennerpolynom der Normalform T²*s² + 2*D*T*s +1 in Faktoren mit Hilfe der Formel zur Lösung gemischt quadratische Gleichungen aufgelöst werden kann, entstehen 2 T1-Glieder in Reihenschaltung. Das T2-Glied ist ein System mit Ausgleich.
Differentialgleichung: T² * Xa´´(t) + T * Xa´(t) + Xa(t) = K * Xe(t)
Übertragungsfunktion: G(s) = K / (T1*s + 1) / (T2*s + 1)
Wenn das Nennerpolynom der oben genannten Form für die Dämpfung D einen Wert D<1>0 hat, ist das Polynom nicht lösbar, es hat sogenannte konjugiert komplexe Pole. Diese Form des T2-Gliedes bezeichnet man mit Schwin-gungsglied:
Übertragungsfunktion: G(s) = K / (T²*s² + 2*D*T*s +1), für D<1>0
Schwingungsglieder entstehen durch Energieaustausch von 2 speicherfähigen Verzögerungsgliedern 1. Ordnung, wie Feder-Masse-Systeme, LC-Schwingkreis.
Die dargestellte Grafik zeigt die Sprungantwort eines Schwingungsgliedes mit der Übertragungsfunktion G(s) = 1 / (0,06*s + 0,1*s + 1), der Dämpfungsgrad beträgt D = 0,22
Integrierendes Streckenglied (I-Glied)
Typisches Beispiel für ein I-Glied ist der über ein Regelventil gesteuerte Durchfluss einer Flüssigkeit in einen z.B. zylindrischen oder rechteckigen Behälter, oder das Aufladen eines Kondensators mit einstellbarem Konstantstrom. Das I-Glied ist ein System ohne Ausgleich, die Ausgangsgröße steigt als Funktion einer beliebigen Eingangsgröße monoton bis zu ihrer Begrenzung an. Es unterscheidet sich im Gegensatz zu den Verzögerungsgliedern, dass in der linearen Differentialgleichung der Beiwert a_0 = 0 ist.
Die allgemeine Differentialgleichung: … a2*xa´´(t) + a1*xa´(t) + a0*xa(t) = b0*xe(t) wird für das I-Glied zu: a1*xa´(t) = b0*xe(t)
Differentialgleichung: a1*xa´(t) = b0*xe(t)
- Xa(t) = 1 / Tn * ∫(Xe * dt)
Übertragungsfunktion: G(s) = 1 / (Tn *s) = Ki / s, Tn = Nachstellzeit, Ki = 1 /Tn
Die dargestellte Grafik zeigt die Sprungantwort eines I-Gliedes G(s) = 1 / Tn*s
Instabile Regelstrecken
Instabile Regelstrecken können z.B. durch 2 oder mehrere in Reihe geschaltete I-Gliedern oder durch Rückkopplungseffekte entstehen. Wenn auf die Lage von Körpern Beschleunigungskräfte einwirken, wie sie z.B. durch die Gravitation oder durch den Magnetismus hervorgerufen werden, dann wird sie zunehmend beschleunigt. Die Ausgangsgröße Xa (t) wächst progressiv bis zu einer natürlichen Begrenzung.
Beispiel-Modelle: aufrecht stehendes Pendel, Magnetschwebekörper. Sie haben in der Industrie wichtige Anwendungsgebiete.
Instabiles T1-Glied
Die Differentialgleichung mit einem negativen Koeffizienten lautet:
T1*xa´(t) – xa(t) = K*xe(t) oder -T1*xa´(t) + xa(t) = K*xe(t)
Die Übertragungsfunktion lautet: G(s) = K / (T1*s-1) oder G(s) = K / (1-T1*s)
Die Sprungantwort lautet:
xa(t) = K*xe*(e-t/T-1)
Diese Regelstrecke ist relativ leicht mit einem PI-Regler zu regel n!
Die dargestellte Grafik zeigt die Sprungantwort eines Systems mit der Übertragungsfunktion G(s) = 1 / (T*s - 1)
Instabiles T2-Glied
Wenn im Nenner eines schwingungsfähigen T2-Gliedes negative Koeffizienten stehen, oder die Dämpfung D = 0 ist, so ist das System instabil. Liegen konjugiert komplexe Pole vor , schwingt das System mit zunehmender Amplitude.
Die Differentialgleichung mit einem negativen Koeffizienten lautet: T2²*xa´´(t) + T1*xa´(t) – xa(t) = K*xe(t) oder T2²*xa´´(t) - T1*xa´(t) + xa(t) = K*xe(t)
Übertragungsfunktion:
G(s) = K / (T²*s² - 2*D*T*s +1) oder G(s) = K / (T²*s² + 2*D*T*s -1),
Falls das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion keine konjugiert komplexen Pole hat, lässt sich das Polynom in 2 T1-Glieder zerlegen. Z.B.
- G(s) = K / ((T1*s + 1) * (T2*s – 1))
Totzeitglied (nichtlinear)
Es ist kein lineares Regelkreisglied! Das Totzeitglied ist ein in der Praxis häufig vorkommendes Regelstreckenglied meist in Verbindung mit weiteren Verzögerungsgliedern, das durch reine Laufzeit bzw. Transportzeit eines Signals entsteht. Es verhält sich wie ein P-Glied, dessen Ausgangsgröße verspätet um die Totzeit ankommt, ohne die Eingangsgröße während dieser Zeit zu verzerren. Jede Änderung der Eingangsgröße wirkt um die Totzeit verspätet am Ausgang.
Das Totzeitglied kann nicht durch eine Differentialgleichung beschrieben werden, dafür aber sehr gut im Frequenzbereich s = j*ω.
Zeitverhalten:
Xa(t) = Xe(t-Tt) für t =>Tt
Übertragungsfunktion: Xa(s) / Xe(s) = e^(–s*Tt)
Die dargestellte Grafik zeigt die Sprungantwort und einen Rücksprung (Sprungantwort) eines Systems mit Totzeit und in Reihe geschalteten Verzögerungsgliedern.
Stabilität der Regelstreckenglieder
Definition Testsignale:
Übliche Testsignale für Regelkreisglieder sind:
- Eingangssprung (Sprungantwort) Transformiert : Xe(s) = 1/s
- Anstiegsfunktion Transformiert : Xe(s) = 1/s²
- Stoßfunktion (Gewichtsfunktion) Transformiert : Xe(s) = 1
Die Rücktransformation einer Übertragungsfunktion in den Zeitbereich für Xe(s) = 1 ist immer die Antwort der Stoßfunktion.
Definition Nullstellen
Begriffsklärung: Unter der Nullstelle einer Funktion f(s) versteht man den Wert s0, der die Funktion zu Null macht. In der Regelungstechnik ist es üblich, für eine rational gebrochene Funktion die Nullstellen des Zäh-lers mit Nullstellen, die Nullstellen des Nenners mit Polstellen und bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Kreis die Pole mit Wurzeln zu bezeichnen.
Für Stabilitätsbetrachtungen können Polstellen und Nullstellen grafisch in der s-Ebene (s= Ϭ+j*ω) dargestellt werden, der Realteil Ϭ liegt auf der Abszisse, der imaginäre Teil j*ω liegt auf der Ordinate.
Definition Stabilität
Ein lineares zeitinvariantes Übertragungssystem ist asymptotisch stabil, wenn seine Impulsantwort (Ge-wichtsfunktion) nach genügend langer Zeit asymptotisch abklingt. Steigt dagegen die Impulsantwort nach genügend langer Zeit gegen eine natürliche Anschlagbegrenzung, ist das System instabil.
Als Sonderfall gibt es Systeme, die nach der Impulsantwort mit steigender Zeit zwar ansteigen, aber einen endlichen Grenzwert nicht übersteigen. Diese auch mit grenzstabil bezeichneten Systeme betreffen z.B. das I-Glied oder das T2-Schwingungsglied.
Ein Regelstreckensystem ist instabil:
- wenn die Ausgangsgröße kontinuierlich schwingt,
- wenn die Ausgangsgröße mit ansteigenden Amplituden schwingt,
- wenn die Ausgangsgröße progressiv über alle Grenzen ansteigt.
Stabilitätsbetrachtung durch Lage der Pole:
Es genügt für die Erkennung der Stabilität einer Übertragungsfunktion die Lage der Pole in der s-Ebene (Ordinate mit Ϭ, Abszisse mit J*ω) zu betrachten:
- Asymptotische Stabilität: sämtliche Pole müssen in der linken s-Halbebene liegen,
- Instabilität: wenn mindestens 1 Pol in der rechten s-Halbebene liegt, oder wenn ein mehrfacher Pol auf der rechten Imaginären Achse der s-Ebene liegt.
- Grenzstabil: wenn kein Pol in der rechten s-Halbebene liegt, keine mehrfachen Pole auf der imagi-nären Achse des s-Halbebene liegen und mindestens ein einfacher Pol vorhanden ist.
Beispiel der Berechnung der Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion und Lösung eines Polynoms:
Übertragungsfunktion: G(s) = (5*s+1) / (4*s² + 6*s + 1)
Die Gleichung wird so umgeformt, dass das Nenner- und Zählerpolynom jeweils für die höchste Ordnung den Faktor 1 bekommt:
Übertragungsfunktion: G(s) = 5 * (s + 0,2) / 4 / (s² + 1,5*s +0,25)
Nullstellen des Zählerpolynoms: 5(s + 0,2) = 0, s1 = -2
Nullstellen des Nennerpolynoms: 4(s² + 1,5*s + 0,25) = 0 sP1 = -1,31, sP2 = -0,19
Die Pole des Polynoms werden durch die Formel zur Lösung gemischt quadratischer Gleichungen gefunden. Das Nennerpolynom hat keine konjugiert komplexen Pole.
Übertragungsfunktion: G(s) = 5(s+0,2) /4/ (s+1,31) / (s+0,19) = (5*s + 1) / (0,76*s + 1) (5,26*s +1)
Prüfung der Übertragungsfunktion in der s-Ebene:
Die 2 Pole und die Nullstelle liegen auf der auf der reellen Achse in der linken s-Halbebene. Das Streckenglied ist stabil.