Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck enthält die Binomialkoeffizienten. Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass ein Eintrag die Summe der zwei darüberstehenden Einträge ist. Der Name geht auf Blaise Pascal zurück, obgleich das Pascalsche Dreieck bereits im alten China bekannt war.

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                                 1

                              1     1

                           1     2     1

                        1     3     3     1

                     1     4     6     4     1

                  1     5     10    10    5     1

               1     6     15    20    15    6     1

            1     ..    ..    ..    ..    ..    ..    1

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Anwendung:

Das Pascalsche Dreieck gibt eine Handhabe, schnell beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren. So finden sich in der dritten Zeile die Koeffizienten der ersten beiden Binomischen Formeln:
(a ± b)² = a² ± 2·a·b + b².
In der nächsten Zeile finden sich die Koeffizienten für (a ± b)³:
(a¹ ± b¹)³ = a³b⁰ ± 3·a²·b¹ + 3·a¹·b² ± a⁰b³.
(x⁰=1; x¹=x)
Diese Auflistung kann beliebig fortgesetzt werden, wobei zu beachten ist, dass für das Binom (a - b) stets das Minuszeichen aus "±" zu nehmen ist, und dass, während die Potenz von a in jeder Formel stets um 1 abnimmt, die Potenz von b um 1 zunimmt. Eine Verallgemeinerung liefert der Binomische Lehrsatz.

Eine Erweiterung in die dritte Dimension ist die Pascalsche Pyramide.

Folgen im Pascalschen Dreieck

Im Pascalschen Dreieck finden sich viele bekannte Zahlenfolgen wieder.

Die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5...) sind in einer der zweiten "Diagonalen" des Dreiecks zu finden.

Die Dreieckszahlen

Die Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, 15...) sind in einer der dritten "Diagonalen" des Dreiecks zu finden.

Die Fibonacci-Zahlen

                                  1
                               1     1
                            1     2     1
                         1     3     3     1
                      1*    4+    6     4     1
                   1     5    10*   10+    5     1
                1     6    15    20    15*    6+    1
             1     7    21    35    35    21     7*    1+
          1     8    28    56    70    56    28     8     1*

Die Summen der hier mit Sternchen und Plus-Zeichen markierten flachen "Diagonalen" ergeben jeweils eine Fibonacci-Zahl (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). In diesem Beispiel ist die Summe der Plus-Diagonalen gleich 21, die Summe der Stern-Diagonalen gleich 34. Dass sich die "Diagonale" manchmal nicht von einem zum anderen Ende "durchziehen" lässt, wie im Plus-Zeichen-Beispiel, ist unerheblich.

Die Zweierpotenzen

Die Summe der Glieder der n-ten Zeile ist $2^{n}$ (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...).

Siehe auch

IFS (iterierte Funktionssysteme), Musterbildung, Zellulärer Automat, Polynom, Sierpinski-Dreieck

Literatur

• Hans Magnus Enzensberger, Der Zahlenteufel, ISBN 3-446-18900-9
• John H. Conway und Richard K. Guy, The Book of Numbers, ISBN 0-387-97993-X