Multilinearform

Eine p-Multilinearform $\omega$ ist in der Mathematik eine Funktion, die p Argumenten aus den Vektorräumen $V_{i}$ , i=1,..,n einen Wert aus dem Skalarkörper K von $V_{i}$ zuordnet und die in jedem Argumet linear ist. Die Vektorräume $V_{i}$ müssen dabei alle den selben Skalarkörper K haben. Also:

$\omega :V\times \dots \times V\rightarrow K$

$\left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\rightarrow \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)$

$\omega \left(v_{1},\dots ,\lambda \;v_{i1}+\mu \;v_{i2},\dots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\dots ,v_{i1},\dots ,v_{p}\right)+\mu \;\omega \left(v_{1},\dots ,v_{i2},\dots ,v_{p}\right)$

alternierende Multilinearform

Eine alternierende Multilinearform ist eine Multilinearform, die ihr Vorzeichen wechselt, wenn man zwei beliebige Argumente vertauscht. Also:

$\omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)$

Beispiele

Beispiel 1: Alle Linearformen (Skalarprodukt mit vorgegebenem Vektor) sind auch Multilinearformen.

Beispiel 2: Alle Bilinearformen sind Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen.

Beispiel 3: Bildet man aus n Vektoren durch zusammenfassen eine quadratische Matrix so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also $\omega$ definiert durch

$\omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=det{\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}$

eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren v1,v2,v3 folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:

$v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}$

Beispiel 4: kovariante Tensoren sind Multilinearformen

In dem Fall, dass alle Vekktoräume $V_{i}$ identisch sind (also $V_{i}=V$), ist die p-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor p-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden p-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren p-ter Stufe.