Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt. Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoid (Kettenlinie) bezeichnet.

Eine Gerade durch den O-Punkt schneidet die Hyperbel $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ im Punkt $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, wobei $\scriptstyle a$ die Fläche zwischen der Gerade, ihrem Spiegelbild bezogen auf die $\scriptstyle x$-Achse, und der Hyperbel (siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (circulären) Funktionen. Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel "gehandelt".

Definition

• Sinus Hyperbolicus

$\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-i\sin ix$

• Cosinus Hyperbolicus

$\cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cos ix$

Eigenschaften

Graph der Funktion sinh(x)

Graph der Funktion cosh(x)

	Sinus Hyperbolicus	Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<+\infty$	$1\leq f(x)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	x ≤ 0 streng monoton fallend x ≥ 0 streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische Funktionen	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ x}$	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ x}$
	$a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{\ -x}$	$a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{\ -x}$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei $x=0$
Wendepunkte	$x=0$	keine

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man "Areasinus Hyperbolicus"

${\rm {arsinh}}(x):=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$.

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man "Areakosinus Hyperbolicus".

${\rm {arcosh}}(x):=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

Ableitung

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh(x)=\cosh(x)$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\cosh(x)=\sinh(x)$

Integral

$\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C$

$\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C$

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus lautet:

$\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{120}}x^{5}+\cdots$

$\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+...$

Produktentwicklung

Kosinus Hyperbolicus:

$\cosh(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)$

Komplexes Argument

$\operatorname {sinh} (x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cdot \cosh(x)\sin(y)$ mit $x,y\in \mathbb {R}$

$\operatorname {sinh} (ix)=i\cdot \sin(x)$

$\operatorname {cosh} (ix)=\cos(x)$

Weiteres

$f(x)=a\cdot \sinh(x)+b\cdot \cosh(x)$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ löst die Differentialgleichung

$f''(x)-f(x)=0$

Außerdem gilt der Zusammenhang

$\operatorname {cosh} ^{2}x-\operatorname {sinh} ^{2}x=1$ für alle $x$.

$\operatorname {cosh} ^{2}x+\operatorname {sinh} ^{2}x=\operatorname {cosh} (2x)$

oder

$2\operatorname {cosh} ^{2}x=1+\operatorname {cosh} (2x)$

Teile_und_herrsche_%28Informatik%29

Additionstheoreme:

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,$

insbesondere gilt für x=y:

$\sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x\,$

Sonstiges

Ein homogenes Seil das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus Hyperbolicus - Funktion beschrieben werden. Für nähere Angaben siehe Katenoide.

Siehe auch

• Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen.