Diskussion:Homomorphismus

(R, *, +, 1, 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in der Schulmathematik) ein Körper.

da fehlt doch noch das inverse Element ^-1. Sonst wäre es lediglich ein Ring mit Eins. Gehört ^-1 zu den Verknüpfungen? IMHO nicht. wo sollte es also eingefügt werden? Am besten am Ende, dann müsste aber jemand die Legende umschreiben (oder ganz weglassen, verwirrt eh mehr als sie hilft). --Head 20:09, 26. Sep 2003 (CEST)

Hi - melde mich seit langem mal wieder zu Wort (bin der Orignal-Autor). Die Existenz von Inversen ergibt sich aus der Definition der Gruppe/des Ringes, die fordert, dass zu der Abbildung und jedem Element ein solches Element existieren muss. Darum muss das nicht extra erwähnt werden. Man muss allerdings benennen, wie die Verknüpfung heisst, wenn man drüber reden möchte, genau darum schreibt man überhaupt nur das Tupel hin. Genauso mit den neutralen Elementen. Im gewöhnlichen Gebrauch läßt man die doch sogar für gewöhnlich weg Sei R ein Ring mit Eins, dann ist implizit klar, was gemeint ist. --Doegi 05.06.2004

In der universellen Algebra würde man die Angabe von neutralem Element und Inversenabbildung als 0- bzw. 1-stellige Verknüpfung zwingend benötigen. Ich habe bisher die Inversenabbildung noch nie in der Angabe der Struktur gesehen. Das ist erklärbar durch die Axiome, die zwar auf die Verknüpfung Bezug nehmen, aber das neutrale Element und das Inverse durch einen Existenzquantor beschaffen. Auch das neutrale Element wird meist nur angegeben, wenn man sich im Folgetext darauf bezieht. Meinst du mit Legende den Satz "Im folgenden bezeichne (A, f, g, h, ..., a, b, c, ...) eine Struktur, so dass A die Trägermenge ist, f, g, h Verknüpfungen (z.B. "*" oder "+") und a, b, c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen. " ? Der ist in der Tat etwas zu speziell.

Der Grund, warum ich das ursprünglich schrieb, war, dass ich das Fundament für generelle Homomorphismen schaffen wollte, schliesslich gibt es Homomorphisme zwischen allem, was nur irgendwie nach Struktur klingt :-) Die genaue Def. hab ich irgendwo in meinen Unterlagen, aber noch keine Zeit gehabt, nachzusehen. Da die Ausführungen wie unten (Gruppe, Ring) eigentlich nur speziell sind und dem Verständnis dienen sollten, hatte ich oben schon angefangen, das mal halbwegs abstrakt aufzuschreiben. Deshalb auch der Text ganz oben. Dazu muss man sich halt auf eine Schreibweise einigen. Meinetwegen kann der weg. (Doegi, 05.06.2004)

Ich denke, man sollte den Artikel so umschreiben, dass man sich erst speziell auf Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume bezieht, und danach eine Verallgemeinerung auf beliebige algebraische Strukturen definiert. Siehe dazu die Ausführungen bei universelle Algebra. --SirJective 21:41, 26. Sep 2003 (CEST)

Hmm, das ist dummerweise ne Crux: Ich würde am liebsten Homomorphismus hier nur GANZ ALLGEMEIN definieren, und bei den verschiedenen Strukturen (Gruppen, Ringe, etc) näher drauf eingehen. Denn jede Struktur hat auch wieder andere Eigenschaften zusammen mit dem Homomorphismus. Andererseits sind diese Eigenschaften wiederrum so ähnlich, dass es irgendwie duplizieren von Inhalt wäre (Krampf zur Pflege), wenn man das überall extra reinschreibt. Vgl. z.B. Kern von Gruppen-Hom. vs. Ring-Hom.: Beweis zur Injektivität geht analog, beim Ring ist der Kern allerdings ein Ideal, bei der Gruppe ein Normalteiler. Beim Körper gibt's nur die eine Möglichkeit. Darum hatte ich das jetzt erstmal hier so zusammen reingeschrieben. Wenn jemand hingehen möchte, und das ganz wirklich "toll" machen will, würde ich - wie gesagt - hier nur Homoorphis formal definieren, und dann bei Bezug auf gewisse Strukturen (Gruppen, Ringe, Vektorräume, Topologien, blbalbla, wir haben selbst in der Logik Hom!) auf jeder Seite extra drauf eingehen, mit dem Risiko, dass man einige Änderungen dann auf verschiedenen Seiten parallel pflegen muss. Wenn's jemand machen möchte: nur zu! :-) (Doegi 05.06.2004)

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Ich denke, am Anfang eines solchen Artikels sollte immer eine "volkstümlich" verständliche verbanle Definition stehen. Ich habe eine versucht. Immerhin gibt es Homomorphismen auch außerhalb der Mathematik. Außerdem habe ich eine Gliederung eingefügt, in der Hoffnung, keinen Zusammenhang "zerstört" zu haben. --Hutschi 11:13, 2. Apr 2004 (CEST)

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Hallo, melde mich seit langem mal wieder zu Wort :-)

@Doegi: Es ist etwas verwirrend, wenn du deine Diskussionsbeiträge mitten in eine Diskussion reinsetzt, die bereits ein Dreivierteljahr alt ist. Schreib bitte in Zukunft deine Antworten unter den Beitrag, auf den du antwortest, und bei einer so alten Diskussion fängst du vielleicht lieber ganz unten an.

Ich plädiere dafür, in der Einleitung darauf hinzuweisen, dass es Homomorphismen "zwischen allem [gibt], was nur irgendwie nach Struktur klingt :-)" - natürlich in etwas ernster klingenden Worten - und dann aber mit den einfachsten Strukturen zu beginnen. Nach Verweisen auf Gruppenhomomorphismus, Ringhomomorphismus und lineare Abbildung kann dann der allgemeine Homomorphismusbegriff der universellen Algebra kommen. Dann würde ich zu anderen, weniger abstrakt algebraische, Homomorphismenbegriffen kommen: stetige Funktion als Topologie-Homomorphismus und Homöomorphismus als zugehöriger Isomorphismus, und was es sonst noch so gibt.

Die Verdoppelungen von Sätzen über Homomorphismen würde ich in Kauf nehmen, da der Kern einen Homomorphismus außerhalb rein algebraischer Strukturen anders definiert werden muss.

Der Begriff des Morphismus aus der Kategorientheorie gehört mMn nicht hierher, sondern nur verlinkt, als Verallgemeinerung des Homomorphismusbegriffs. (Es gibt die Kategorie, deren einziges Objekt der Nullpunkt der euklidischen Ebene ist, und deren Morphismen geschlossene Kurven durch den Nullpunkt sind. Diese Kurven würde ich nicht als "Homomorphismen" des Nullpunkts bezeichnen.) --SirJective 17:16, 10. Jun 2004 (CEST)

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Ich hatte mal einen Matheprofessor, der hat immer tierisch hektisch geschrieben und alles abgekürzt. "Gruppenhomomorphismus" wurde an der Tafel immer zu "Gruppenhomo", was für reichlich Lacher sorgte. Leider hat er mir mit seiner hektischen Art die Mathematik soweit verleidet, daß ich die Scheine nur mit Hängen und Würgen bekommen habe und nun für Vordiplom alles nochmal neu lernen muß. Glücklicherweise gibt es die Wikipedia, da habe ich eine gute Übersicht... --Elfboi 12:25, 28. Okt 2004 (CEST)

Also ich hab gerade mal eine Definition des Homomorphismus gesucht. Da hab ich diese Seite gefunden. Aber unter Allgemeine mathematische Definition steht blos dass man das definieren kann. Wenn das dort auch definiert werden würde, wäre das bestimmt nicht schlecht.

Das ist wohl wahr. Generell ist ein Homomorphismus einfach eine Abbildung, die mit den jeweiligen Strukturen kompatibel ist. Z.B. gibt es bei Ringen die Strukturen (A) Multiplikation (B) neutrales Element (C) inverses Element, und ein Homomorphismus ist eine Abbildung $f\colon G\to H$, für die

• (A) $f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})$
• (B) $f(e_{G})=e_{H}$
• (C) $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$

gilt. Im Fall von Gruppen folgen (B) und (C) aus (A), aber das muss nicht immer so sein: Beispielsweise muss ein Ringhomomorphismus im Sinne einer Abbildung, die Summen und Produkte erhält, nicht notwendigerweise das Einselement auf das Einselement abbilden; häufig wird das deshalb zusätzlich gefordert.--Gunther 21:46, 6. Feb 2006 (CET)

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Jo, dem Artikel fehlt in der Tat noch etwas, wenn man in den Diskussions-Teil schauen muss, um zu erfahren, was konkret für einen Homomorphismus gefordert wird. --Maulwurf 12.03.06

Ringhomomorphismus

Ich hab mal " *$f(1_{R})=1_{S}$. " entfernt, denn sollten in R und S ein 1 Element existieren, so folgt aus $f(x)=f(x\cdot 1_{R})=f(x)\otimes f(1_{R})=f(x)\otimes 1_{S}=f(x)$ für alle x, dass $f(1_{R})=1_{S}$. Die Bemerkung ist also in der Definition nicht notwendig. --Gruß Azrael. 18:05, 10. Okt. 2006 (CEST)

Das ist falsch, die Nullabbildung ist kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, falls der Zielring nicht der Nullring ist.--Gunther 18:27, 10. Okt. 2006 (CEST)

Entschuldigung ich hab das "...mit Einselement" übersehen, aber wenn man die Definition so umformuliert dann würde es doch stimmen, oder?

Es seien $(R,+,\cdot )$ und $(S,\oplus ,\otimes )$ Ringe und $f\colon R\to S$ eine Abbildung. $f$ heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

• $f(a+b)=f(a)\oplus f(b)$ für alle $a,b\in R$ (d.h. $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $(R,+)$ nach $(S,\oplus )$),
• $f(a\cdot b)=f(a)\otimes f(b)$ für alle $a,b\in R$

Dann ist die Nullabbildung auch kein Problem mehr. Gruß Azrael. 23:51, 10. Okt. 2006 (CEST)

Hab mal nochmal drüber nachgedacht, die Nullabbildung war auch vorher kein Problem. Denn $f(x)\otimes f(y)=0\otimes 0=0=f(x\cdot y)$ ist für alle x,y eine wahre Aussage und mehr hab ich in der Definition auch nicht gefordert. Gruß Azrael. 03:34, 11. Okt. 2006 (CEST)

Man könnte es so machen, aus verschiedenen Gründen will man die Nullabbildung aber nicht. Z.B. gibt es eine Bijektion zwischen Ringhomomorphismen $f\colon \mathbb {Z} [T]\to A$ und $A$, indem man $f$ auf $f(T)$ abbildet. Gunther aka 84.245.187.118 11:54, 11. Okt. 2006 (CEST)

Äquivalenzrelation

Die in der Definition des Homomorphismus verwendete Äquivalenzrelation wird an keiner Stelle definiert. Skypher 10:49, 28. Aug. 2007 (CEST)

Struktur

Ich fände es besser, nicht mit "Allgemeine mathematische Definition" zu beginnen, sondern mit Beispielen, und möglichst viel gewöhnliche Sprache zu verwenden; die mathematische Formelsprache also nur, wo es unbedingt nötig ist. Zwei didaktische Regeln:

1) Vom Speziellen zum Allgemeinen.

2) Keine Definition ohne Beispiele!

Weiter ist unter "Körperhomomorphismus ..." die Rede von der "Nullpunktsgerade" (eine Abbildung??). Das verstehe ich nicht und sollte m. E. erläutert werden. Ich will den Artikel aber nicht selbst umschreiben. --Hanfried.lenz 10:19, 29. Sep. 2007 (CEST).

Das mit den Beispielen würd ich genauso sehen, allerdings denk ich das es für eine Enzyklopädie-die vor allem ein Nachschlagewerk sein soll-günstiger ist wenn man vom Algemeinem zum Speziellen geht. Da man so viel schneller die relevanten Informationen findet. Bei Lehrbüchern und Vorlesungen sieht es dann schon wieder anders aus... Gruß Azrael. 14:48, 29. Sep. 2007 (CEST)

Definitionsmangel, Fachsimpeleien, Unuebersichtlichkeit

Ich denke auch, man sollte eine allgemeine mathematische Definition nur ankuendigen, wenn man sie dann auch liefern kann. Das habe ich bisher auch in der Diskussion nicht gesehen, hoechstens eine "allgemeine Idee".

Der englische Artikel geht den Weg, von der Seite zu Homomorphismen zu speziellen Homomorphismen zu verzweigen. Dadurch spart man sich das mehrfache Lesen gleicher Saetze, findet aber dennoch, was man sucht. Ich suchte z.B. die Def. eines H. ueber einem Vektorraum. Diese finde ich nur sehr implizit im Text, verschnoerkelt mit Fachsimpeleien nach Art von "Da jeder Körper K auch ein K-Vektorraum ist, ist die Nullpunktsgerade selbstverständlich auch linear". Was soll dieser Satz, abgesehen von ein wenig Koketterie? Zumindest diesen Teil wuerde ich gerne aendern. <a href="http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Tyro">Tyro</a>