Benutzer:Feathil/Balkenbiegung

Verformung in Trägermitte

$w=\int _{0}^{l}{\frac {M(x){\overline {M}}}{EI(x)}}\;\mathrm {d} x$

$w=\int _{0}^{l}\kappa (x){\overline {M}}\;\mathrm {d} x$

$w={\frac {l}{3N}}\sum _{i=0}^{N}c_{simp}\kappa _{i}(M_{i}){\overline {M_{i}}}\;\;\;\;\;\;,N{\text{ gerade}}$

$w={\frac {l}{3N}}\left(\kappa _{0}{\overline {M}}_{0}+4\kappa _{1}{\overline {M}}_{1}+2\kappa _{2}{\overline {M}}_{2}+\dotsb +2\kappa _{N-2}{\overline {M}}_{N-2}+4\kappa _{N-1}{\overline {M}}_{N-1}+\kappa _{N}{\overline {M}}_{N}\right)$

mit:

${\overline {M}}_{i}={\begin{cases}2{\frac {i}{N}}\cdot {\overline {1}},&{\text{wenn }}i\leqq {\frac {N}{2}}\\2\left({\overline {1}}-{\frac {i}{N}}\right),&{\text{wenn }}i\geqq {\frac {N}{2}}\end{cases}}$

${M}_{i}={\frac {q_{ed,perm}l^{2}}{2}}\left({\frac {i}{N}}-{\frac {i^{2}}{N^{2}}}\right)$

$\kappa _{i}={\begin{cases}{\frac {M_{i}}{M_{crit}}}\cdot \kappa _{crit},&{\text{wenn }}M_{i}\leqq M_{crit}\\\kappa _{crit}+\left(\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}-\kappa _{crit}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{crit}}{M_{1{,}3\sigma _{sr}}-M_{crit}}}\right),&{\text{wenn }}M_{crit}\leqq M_{i}\leqq M_{1{,}3\sigma _{sr}}\\\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}+\left(\kappa _{y}-\kappa _{1{,}3\sigma _{sr}}\right)\cdot \left({\frac {M_{i}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}{M_{y}-M_{1{,}3\sigma _{sr}}}}\right),&{\text{wenn }}M_{1{,}3\sigma _{sr}}\leqq M_{i}\leqq M_{y}\end{cases}}$

Bestimmung Rissmoment

Bestimmung Rissdehnung Beton:

$\epsilon _{cu}={\frac {f_{ctm}(1+\phi )}{E_{cm0}}}$

Bestimmung Stahldehnung unmittelbar vor Riss

$\epsilon _{s}=\epsilon _{cu}{\frac {h-x_{I}-c}{h-x_{I}}}$

Bestimmung Stahlspannung unmittelbar vor Riss

\:$\sigma _{s}=\epsilon _{s}\cdot E_{s}$

Bestimmung des Rissmomentes:

$M_{crit}={\frac {f_{ctm}I_{I}}{h-x_{I}}}$

mit

$x_{I}=k_{xI}h={\frac {0{,}5+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}{\frac {d}{h}}}{1+({\frac {E_{s}(1+\phi )}{E_{c}}})\rho _{u}}}h$

$I_{I}=k_{I}{\frac {bh^{3}}{12}}$

$k_{I}=1+12(0{,}5-k_{x1})^{2}+12\alpha _{e}\rho _{u}\left({\frac {d}{h}}-k_{xI}\right)^{2}$

Bestimmung Betondruckkraft GDT

$F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A$

$F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {-\epsilon _{c}}{\epsilon _{s}-\epsilon _{c}}}d=X}\sigma (x)b\;\mathrm {d} x$

a) $\epsilon _{c}\leqq \epsilon _{c2}$

$F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\left(x+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}$

$F_{c}=\left(X+{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\left(1-{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n+1}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}$

b) $\epsilon _{c2}\leqq \epsilon _{c}$

$F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}(x)}{\epsilon _{c2}}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\int _{0}^{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}\left(1-\left(1-{\frac {\epsilon _{c}x}{\epsilon _{c2}X}}\right)^{n}\right)bf_{cd}\;\mathrm {d} x+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\left({\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}}}-{\frac {\epsilon _{c2}X}{\epsilon _{c}(n+1)}}\right)bf_{cd}+{\frac {(\epsilon _{c}-\epsilon _{c2})X}{\epsilon _{c}}}bf_{cd}$

$F_{c}=\left(1-{\frac {\epsilon _{c2}}{(n+1)\epsilon _{c}}}\right)Xbf_{cd}$

Mindestbewehrung:

$A_{s,min}={\frac {M_{ed}}{zf_{yd}}}$

Bestimmung Betondruckkraft GDG

$F_{c}=\int \sigma (x)\;\mathrm {d} A$

$F_{c}=\int _{0}^{x={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d=X}\sigma (x)b\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k\eta -\eta ^{2}}{1+(k-2)\eta }}bf_{c}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=bf_{c}\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}-{\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}}}}{1+(k-2){\frac {\epsilon ({\frac {x}{1+\phi }})}{\epsilon _{c1}}}}}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\int _{0}^{X}{\frac {k{\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x-{\frac {\epsilon _{c}^{2}}{\epsilon _{c1}^{2}(1+\phi )^{2}X^{2}}}x^{2}}{1+(k-2){\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}x}}bf_{c}\;\mathrm {d} x$

$F_{c}=\left|cbf_{c}\left({{\frac {x(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cx+ckx+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {x^{2}}{2(k-2)}}}\right)\right|_{0}^{X}$

$F_{c}=cbf_{c}\left({{\frac {X(k-1)^{2}}{c(k-2)^{2}}}-{\frac {\ln {(-2cX+ckX+1)}(k-1)^{2}}{c^{2}(k-2)^{3}}}-{\frac {X^{2}}{2(k-2)}}}\right)$

mit:

$c={\frac {\epsilon _{c}}{\epsilon _{c1}(1+\phi )X}}$

$k=-E_{cm}{\frac {\epsilon _{c1}}{f_{cm}}}$

$k={\begin{cases}2{,}322&{\text{bei }}C12/15\\2{,}169&{\text{bei }}C16/20\\2{,}160&{\text{bei }}C20/25\\2{,}033&{\text{bei }}C25/30\\1{,}931&{\text{bei }}C30/37\\1{,}858&{\text{bei }}C35/45\\1{,}799&{\text{bei }}C40/50\\1{,}718&{\text{bei }}C45/55\\1{,}650&{\text{bei }}C50/60\end{cases}}$

$X={\frac {\left|\epsilon _{c}\right|}{\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}}d$

Bestimmung Stahldehnung bei abgeschloßenem Erstrissbild

$\epsilon _{sm}=\epsilon _{1{,}3\sigma _{s}}-\beta _{t}\cdot \left(\epsilon _{\sigma _{sr2}}-\epsilon _{\sigma _{sr1}}\right)$

Bestimmung Fließmoment

Stahlzugkraft beim Fließmoment:

$F_{sy}={f_{ym}}\cdot A_{su}$

Stahldehnung beim Fließmoment:

$\epsilon _{sy}={\frac {f_{ym}}{E_{s}}}$

innerer Hebelarm:

$z=\underbrace {h-c} _{d}-X+x_{F_{c}/2}$

Bestimmung des Fließmomentes:

$M_{y}=F_{sy}\cdot z$

Trägerkrümmung beim Fließmoment:

$\kappa _{y}={\frac {\left|\epsilon _{s}\right|+\left|\epsilon _{c}\right|}{d}}$

Bestimmung des Fließmomentes:

$M_{y}=F_{sy}\cdot z$

Bestimmung Endkriechzahl φ

Die Endkriechzahl φ eines Bauteils ist von folgenden Parametern abhängig:

• ausgewählte Betonfestigkeitsklasse
• vorhandene wirksame Querschnittsdicke
• ausgewählte Zementart
• umgebene relative Luftfeuchtigkeit
• Belastungsbeginn für das Bauteils nach dem Betonieren.

Für eine konstante Belastung und einer kriecherzeugende Betondruckspannung

$\sigma _{c}<0,45\cdot f_{ck;zyl}$

kann die Endkriechzahl φ(∞,t₀) nach DIN 1045-1 Bild 18 und Bild 19 ermittelt werden.

Ausgewählte Betonfestigkeitsklasse:

Je höher die Druckfestigkeit des Betons eines Querschnittes, desto geringer fällt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) aus, wobei

• bei hoher relativer Luftfeuchtigkeit die Unterschiede nicht so ausgeprägt sind wie bei geringerer relativer Luftfeuchtigkeit.

• mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ sind die Unterschiede zwischen den einzelnen Betonfestigkeitsklassen ebenfalls geringer ausgeprägt.

Wirksame Querschnittsdicke:

Mit steigender wirksamer Querschnittsdicke h₀ nimmt die Endkriechzahl φ(∞,t₀) einen geringeren Wert ein.

$h_{0}={\frac {2A_{c}}{u}}$

Dabei ist u der Umfang des Querschnitts und A_c die Querschnittsfläche.

1.) Bei Rechteckquerschnitten gilt:

$u=2\cdot h+2\cdot b$

$A_{c}=h\cdot b$

$h_{0}={\frac {h\cdot b}{h+b}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleichem Seitenverhältnis h/b von Rechteckbalken haben größere Querschnitte auch eine größere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

• bei gleicher Querschnittsfläche $A_{c}$ besitzen Rechteckbalken mit größerem Seitenverhältnis h/b eine kleinere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

2.) Bei Plattenquerschnitten gilt:

$u=2\cdot b$

$A_{c}=h\cdot b$

$h_{0}={\frac {hb}{b}}=h$

Die wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$ entspricht der Plattenhöhe h.

3.) Bei Plattenbalken gilt:

$u=2\cdot h+2\cdot b_{f}$

$A_{c}=h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}$

$h_{0}={\frac {h_{f}\cdot b_{f}+(h-h_{f})\cdot b_{w}}{h+b_{f}}}$

Daran ist zu erkennen, dass

• bei gleicher Querschnittsfläche $A_{c}$ besitzen Plattenbalken mit ausgeprägterer T-Form eine kleinere wirksame Querschnittsdicke $h_{0}$.

Ausgewählte Zementart

Die Zement-Festigkeitsklassen werden in drei Gruppen eingeteilt

• Gruppe 1: Zement 32,5
• Gruppe 2: Zement 32,5 R; 42,5
• Gruppe 3: Zement 42,5 R; 52,5

Verwendete Zemente der Gruppe 1 führen zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als Zemente der Gruppe 2, und Zemente der Gruppe 2 zu einer höheren Endkriechzahl φ(∞,t₀) als diejenigen der Gruppe 3. Dabei sind die Unterschiede ausgeprägter je früher das Bauteil nach dem Betonieren belastet wird. Ab einem Betonalter t₀ > 20 Tage bestehen nur noch minimale Differenzen zwischen den Werten der einzelnen Gruppen. Zu beachten ist, dass nicht jede Festigkeitsklasse des Zementes mit jeder Beton-Festigkeitsklasse kombinierbar ist.

Anhaltswerte für zu verwendene Zementarten
C20/25	C25/30	C30/37	C35/45	C40/50	C45/55	C50/60	C55/67	C60/75	C70/85	C80/95	C90/105	C100/115
32,5	605	1434	2473	5005	7814		42,5 32,5	42,5 R	42,5 R	42,5 R	52,5 R	52,5 R
1	605	1434	2473	5005	7814	9246	1/2	3	3	3	3	3